查看“︁空关系”︁的源代码

[[分类:关系]]{{DEFAULTSORT:kong1guan1xi5}}
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|keywords=空关系
|description=本文介绍空关系的定义、基本性质及其在关系运算中的特殊地位，包括空关系在交、并、差运算中的性质及其在图和矩阵表示中的特征。
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|published_time=2023-4-22
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{{InfoBox
|name=空关系
|eng_name=empty relation
}}
'''空关系'''('''empty relation''')是指一个 <math>n</math> 元[[关系]]中没有任何有序对元素。也就是说，空关系是一个[[空集]]。

== 定义 ==

{{Identity
|name=空关系
|symbol=<math>\varnothing</math>
|latex=\varnothing
|type=关系
}}
对集合 <math>A_1,A_2,\dots,A_n</math> 上的关系 <math>R</math>，若 <math>R=\varnothing</math> ，称 <math>R</math> 是一个'''空关系'''('''empty relation''')。

== 性质 ==

=== 通用性质 ===
* 对任意 <math>a_1 \in A_1, a_2\in A_2, \cdots, a_n\in A_n</math> ，有 <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n) \notin R</math> 。
* 空关系是空集：
** 空关系是唯一数学对象。
** 在[[交关系|关系的交运算]]中是[[幺元]]；
** 在[[并关系|关系的并运算]]中是[[零元]]；
** 与[[全关系]][[补关系|互补]]；
** 在[[差关系|关系的差运算]]中是左零元、右幺元。

=== 二元关系中的特有性质 ===
* 表示
** 空关系的关系图是[[无边图]]；
** 空关系的关系矩阵是[[零矩阵]]；
* 运算性质
** 空关系的[[对偶关系]]仍是空关系；
** 空关系与任意关系的左[[复合（关系）|复合]]和右复合都是空关系。
** 齐次的空关系的[[幂关系|幂]]是空关系。
* 空关系符合的二元关系性质：
** [[反自反关系]]
** [[对称关系]]、[[反对称关系]]、[[不对称关系]]：如果一个关系同时对称和不对称，则其一定是空关系
** [[传递关系]]、[[反传递关系]]


{{关系}}