空关系

空关系
术语名称	空关系
英语名称	empty relation

空关系(empty relation)是指一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元关系中没有任何有序对元素。也就是说，空关系是一个空集。

定义

空关系
对象名称	空关系
对象记号	[math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]
Latex	\varnothing
对象类别	关系

对集合 [math]\displaystyle{ A_1,A_2,\dots,A_n }[/math] 上的关系 [math]\displaystyle{ R }[/math]，若 [math]\displaystyle{ R=\varnothing }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是一个空关系(empty relation)。

性质

对二元关系：

空关系的关系矩阵是零矩阵。

对任意 [math]\displaystyle{ x \in X, y\in Y }[/math] 有 [math]\displaystyle{ x \not R y }[/math]。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]