空关系

空关系
术语名称	空关系
英语名称	empty relation

空关系(empty relation)是指一个 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元关系中没有任何有序对元素。也就是说，空关系是一个空集。

定义

空关系
对象名称	空关系
对象记号	[math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]
Latex	\varnothing
对象类别	关系

对集合 [math]\displaystyle{ A_1,A_2,\dots,A_n }[/math] 上的关系 [math]\displaystyle{ R }[/math]，若 [math]\displaystyle{ R=\varnothing }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是一个空关系(empty relation)。

性质

通用性质

• 对任意 [math]\displaystyle{ a_1 \in A_1, a_2\in A_2, \cdots, a_n\in A_n }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (a_1,a_2,\cdots,a_n) \notin R }[/math] 。
• 空关系是空集：
  • 空关系是唯一数学对象。
  • 在关系的交运算中是幺元；
  • 在关系的并运算中是零元；
  • 与全关系互补；
  • 在关系的差运算中是左零元、右幺元。

二元关系中的特有性质

• 表示
  • 空关系的关系图是无边图；
  • 空关系的关系矩阵是零矩阵；
• 运算性质
  • 空关系的对偶关系仍是空关系；
  • 空关系与任意关系的左复合和右复合都是空关系。
  • 齐次的空关系的幂是空关系。
• 空关系符合的二元关系性质：
  • 反自反关系
  • 对称关系、反对称关系、不对称关系：如果一个关系同时对称和不对称，则其一定是空关系
  • 传递关系、反传递关系

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]