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[[分类:等价关系]]{{DEFAULTSORT:deng3jia4lei4}}
{{InfoBox
|name=等价类
|eng_name=equivalence class
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|keywords=等价类, 代表元
|description=本文介绍等价类的定义、性质及其与等价关系、商集和划分的关系，涵盖代表元概念和等价类的基本特性。
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|published_time=2023-07-29
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'''等价类'''('''equivalence class''')指一个带有[[等价关系]]的[[集合]]上，由彼此等价的元素所构成的子集。
一个集合在同一等价关系下的所有等价类是集合上的一个[[划分]]，构成的集合称为原集合对等价关系的[[商集]]

== 定义 ==

对集合 <math>S</math> ， <math>S</math> 上有一个等价关系 <math>\sim</math> ，对 <math>S</math> 中任意元素 <math>a</math> ，
记集合 <math>[a] = \left\{x\in S \mid x\sim a \right\}</math> ，称为'''代表元为 <math>a</math> 的等价类'''('''equivalence class of <math>a</math>''') 。
或不指明代表元，直接泛指对任意代表元的具有这一形式的集合为'''等价类'''('''equivalence class''')。

元素 <math>a</math> 称为等价类 <math>[a]</math> 的'''代表元'''('''representative''') ，并称元素 <math>a</math> '''代表'''('''represent''') 这个等价类。

若该等价类内有多个不同元素，则其都可以作为代表元代表这个等价类。

在需要指明关系时，也记作 <math>[a]_{\sim}</math> 。

== 性质 ==

集合上某一等价关系的全部的等价类总是构成原集合的一个划分。
* 非空：每个等价类至少有一个元素才能构成一个等价类。
* 覆盖：原集合中的每个元素必须处于至少一个等价类中。
* 不交：原集合中的每个元素不可能出现在两个不同的等价类中。


{{等价关系}}