等价类

等价类
术语名称	等价类
英语名称	equivalence class

等价类(equivalence class)指一个带有等价关系的集合上，由彼此等价的元素所构成的子集。 一个集合在同一等价关系下的所有等价类是集合上的一个划分，构成的集合称为原集合对等价关系的商集

定义

对集合 [math]\displaystyle{ S }[/math] ， [math]\displaystyle{ S }[/math] 上有一个等价关系 [math]\displaystyle{ \sim }[/math] ，对 [math]\displaystyle{ S }[/math] 中任意元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] ， 记集合 [math]\displaystyle{ [a] = \left\{x\in S \mid x\sim a \right\} }[/math] ，称为代表元为 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的等价类(equivalence class of [math]\displaystyle{ a }[/math]) 。 或不指明代表元，直接泛指对任意代表元的具有这一形式的集合为等价类(equivalence class)。

元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 称为等价类 [math]\displaystyle{ [a] }[/math] 的代表元(representative) ，并称元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 代表(represent) 这个等价类。

若该等价类内有多个不同元素，则其都可以作为代表元代表这个等价类。

在需要指明关系时，也记作 [math]\displaystyle{ [a]_{\sim} }[/math] 。

性质

集合上某一等价关系的全部的等价类总是构成原集合的一个划分。

• 非空：每个等价类至少有一个元素才能构成一个等价类。
• 覆盖：原集合中的每个元素必须处于至少一个等价类中。
• 不交：原集合中的每个元素不可能出现在两个不同的等价类中。

等价关系
等价	划分
结构	等价类、setoid、商集、自然映射