查看“︁群作用”︁的源代码

[[分类:群作用理论]]
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|name=群作用
|eng_name=group action
|aliases=作用,action
}}
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|name=左群作用
|eng_name=left group action
|aliases=左作用,left action
}}
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|name=右群作用
|eng_name=right group action
|aliases=右作用,right action
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'''群作用'''('''group action''')指从一个[[群]]到某个[[集合]]上[[置换]]构成的群（[[对称群]]）的[[群同态]]。

群描述“对称关系”，而群作用描述对整个集合中的元素施加的“对称”变换。

== 定义 ==

对群 <math>G</math> 和集合 <math>S</math> ，映射 <math>\alpha: G \times X \to X</math> ，
若满足公理：
* [[幺元]]： <math>\alpha_e(x) = \alpha(e, x) = x</math>
* 相容性： <math>\alpha(g, \alpha(h, x)) = \alpha(gh, x)</math> 或者记 <math>\alpha_g(\alpha_h(x)) = \alpha_{gh}(x)</math>
则，称映射 <math>\alpha</math> 为一个'''群作用'''('''group action''')，简称'''作用'''('''action''')，并也称群 <math>G</math> '''作用于'''集合 <math>S</math> ( <math>G</math> '''act'''s on/upon <math>S</math>)，或将群 <math>G</math> '''作用于'''集合 <math>S</math> ('''act''' with <math>G</math> on/upon <math>S</math>)。

其中，也可以[[柯里化]]地记 <math>\sigma: G \to S_X; g \mapsto \alpha_g</math> ，其中 <math>S_X</math> 是 <math>S</math> 上的对称群，也就是说 <math>\alpha_g: X \to X</math> 是[[双射]]，有时也称这样的映射 <math>\sigma</math> 为群作用。

在使用前一种记号时，由于 <math>G\times S \to S</math> 有顺序，也称为'''左群作用'''('''left group action''')或'''左作用'''('''left action''')。
对应地称 <math>S\times G \to S</math> 为'''右群作用'''('''right group action''')或'''右作用'''('''right action''')，此时相容性公理变为 <math>\alpha(\alpha(x, h), g) = \alpha(x, hg)</math> 或者记 <math>\sigma_g(\sigma_h(x)) = \sigma_{hg}(x)</math> ，其本质区别在于公理区别而非自变量顺序。大部分情况下群作用都指左群作用。

简便起见，不引起歧义的情况下，经常将作用 <math>\alpha_g(x)</math> 简记作 <math>gx</math> 。此时公理简记为 <math>ex = x</math> 和 <math>g(hx) = (gh)x</math> 就'''好像'''幺元也是集合上的“幺元”、群元素和集合元素之间有“结合律”一样。对于右作用，则记为 <math>xg</math> 、 <math>xe = x</math> 以及 <math>(xh)g = x(hg)</math> ，以对应不同的结合顺序。

=== 范畴论定义 ===

对群 <math></math> 及某个范畴 <math>\mathscr{C}</math> 中对象 <math>A</math> ，则从群 <math>G</math> 到 <math>A</math> 在 <math>\mathscr{C}</math> 中[[自同构（态射）|自同构]]集 <math>\mathrm{Aut}_\mathscr{C} (A)</math> 的态射 <math>\sigma</math> 就是群作用。

普通定义就是其在[[集合范畴]]下的具体化。

== 性质 ==

* 幺元对应[[恒等映射|恒等变换]]。
* 相容性代表（左）作用下元素运算对应变换（逆序）复合，幂对应运算[[迭代（映射）|迭代]]。
* 逆元对应逆变换。

== 常见作用 ==

{{InfoBox
|name=平凡作用
|eng_name=trivial action
}}
'''平凡'''作用： <math>g \mapsto \mathrm{id}_X</math> 。群中所有元素都映射到恒等变换，是从 <math>G</math> 到 <math>S_X</math> 的平凡同态。

=== 作用于群所在集合上 ===

{{InfoBox
|name=左乘作用
|eng_name=action by left-multiplication
}}
'''左乘'''作用(action by '''left-multiplication''')： <math>g \mapsto (a \mapsto ga)</math> 。

{{InfoBox
|name=共轭作用
|eng_name=group action
|aliases=作用,action
}}
（左）'''[[共轭]]'''作用(action by '''conjugation''')： <math>g \mapsto (a\mapsto gag^{-1})</math> 。这里的 <math>a\mapsto gag^{-1}</math> 经常记作 <math>a^g</math> 。

对应地，有两个右作用：

右乘作用： <math>g \mapsto (a \mapsto ag)</math> 。是一个右作用，

右共轭作用： <math>g \mapsto (a\mapsto g^{-1}ag)</math> 。是一个右作用。

=== 作用于子集上 ===

'''左乘'''作用(action by '''left-multiplication''')： <math>g \mapsto (aH \mapsto (ga)H)</math> 。作用在左[[陪集]]空间上。

'''[[共轭]]'''作用(action by '''conjugation''')： <math>g \mapsto (H \mapsto gHg^{-1})</math> 。作用在子群上。


{{群论}}