群作用
| 群作用 | |
|---|---|
| 术语名称 | 群作用 |
| 英语名称 | group action |
| 别名 | 作用, action |
| 左群作用 | |
|---|---|
| 术语名称 | 左群作用 |
| 英语名称 | left group action |
| 别名 | 左作用, left action |
| 右群作用 | |
|---|---|
| 术语名称 | 右群作用 |
| 英语名称 | right group action |
| 别名 | 右作用, right action |
群作用(group action)指从一个群到某个集合上置换构成的群（对称群）的群同态。
群描述“对称关系”，而群作用描述对整个集合中的元素施加的“对称”变换。
定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 和集合 [math]\displaystyle{ S }[/math] ，映射 [math]\displaystyle{ \alpha: G \times X \to X }[/math] ， 若满足公理：
- 幺元： [math]\displaystyle{ \alpha_e(x) = \alpha(e, x) = x }[/math]
- 相容性： [math]\displaystyle{ \alpha(g, \alpha(h, x)) = \alpha(gh, x) }[/math] 或者记 [math]\displaystyle{ \alpha_g(\alpha_h(x)) = \alpha_{gh}(x) }[/math]
则，称映射 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 为一个群作用(group action)，简称作用(action)，并也称群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 作用于集合 [math]\displaystyle{ S }[/math] ( [math]\displaystyle{ G }[/math] acts on/upon [math]\displaystyle{ S }[/math])，或将群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 作用于集合 [math]\displaystyle{ S }[/math] (act with [math]\displaystyle{ G }[/math] on/upon [math]\displaystyle{ S }[/math])。
其中，也可以柯里化地记 [math]\displaystyle{ \sigma: G \to S_X; g \mapsto \alpha_g }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ S_X }[/math] 是 [math]\displaystyle{ S }[/math] 上的对称群，也就是说 [math]\displaystyle{ \alpha_g: X \to X }[/math] 是双射，有时也称这样的映射 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 为群作用。
在使用前一种记号时，由于 [math]\displaystyle{ G\times S \to S }[/math] 有顺序，也称为左群作用(left group action)或左作用(left action)。 对应地称 [math]\displaystyle{ S\times G \to S }[/math] 为右群作用(right group action)或右作用(right action)，此时相容性公理变为 [math]\displaystyle{ \alpha(\alpha(x, h), g) = \alpha(x, hg) }[/math] 或者记 [math]\displaystyle{ \sigma_g(\sigma_h(x)) = \sigma_{hg}(x) }[/math] ，其本质区别在于公理区别而非自变量顺序。大部分情况下群作用都指左群作用。
简便起见，不引起歧义的情况下，经常将作用 [math]\displaystyle{ \alpha_g(x) }[/math] 简记作 [math]\displaystyle{ gx }[/math] 。此时公理简记为 [math]\displaystyle{ ex = x }[/math] 和 [math]\displaystyle{ g(hx) = (gh)x }[/math] 就好像幺元也是集合上的“幺元”、群元素和集合元素之间有“结合律”一样。对于右作用，则记为 [math]\displaystyle{ xg }[/math] 、 [math]\displaystyle{ xe = x }[/math] 以及 [math]\displaystyle{ (xh)g = x(hg) }[/math] ，以对应不同的结合顺序。
范畴论定义
对群 [math]\displaystyle{ }[/math] 及某个范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 中对象 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，则从群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 到 [math]\displaystyle{ A }[/math] 在 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 中自同构集 [math]\displaystyle{ \mathrm{Aut}_\mathscr{C} (A) }[/math] 的态射 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 就是群作用。
普通定义就是其在集合范畴下的具体化。
性质
常见作用
| 平凡作用 | |
|---|---|
| 术语名称 | 平凡作用 |
| 英语名称 | trivial action |
平凡作用： [math]\displaystyle{ g \mapsto \mathrm{id}_X }[/math] 。群中所有元素都映射到恒等变换，是从 [math]\displaystyle{ G }[/math] 到 [math]\displaystyle{ S_X }[/math] 的平凡同态。
作用于群所在集合上
| 左乘作用 | |
|---|---|
| 术语名称 | 左乘作用 |
| 英语名称 | action by left-multiplication |
左乘作用(action by left-multiplication)： [math]\displaystyle{ g \mapsto (a \mapsto ga) }[/math] 。
| 共轭作用 | |
|---|---|
| 术语名称 | 共轭作用 |
| 英语名称 | group action |
| 别名 | 作用, action |
（左）共轭作用(action by conjugation)： [math]\displaystyle{ g \mapsto (a\mapsto gag^{-1}) }[/math] 。这里的 [math]\displaystyle{ a\mapsto gag^{-1} }[/math] 经常记作 [math]\displaystyle{ a^g }[/math] 。
对应地，有两个右作用：
右乘作用： [math]\displaystyle{ g \mapsto (a \mapsto ag) }[/math] 。是一个右作用，
右共轭作用： [math]\displaystyle{ g \mapsto (a\mapsto g^{-1}ag) }[/math] 。是一个右作用。
作用于子集上
左乘作用(action by left-multiplication)： [math]\displaystyle{ g \mapsto (aH \mapsto (ga)H) }[/math] 。作用在左陪集空间上。
共轭作用(action by conjugation)： [math]\displaystyle{ g \mapsto (H \mapsto gHg^{-1}) }[/math] 。作用在子群上。