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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=半直积
|eng_list=semidirect product
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群的'''半直积'''('''semidirect product''')是两个[[群]]构造[[群扩张]]的方式，是[[群直积]]和[[群内直积]]的推广。

== 定义 ==

对两个群 <math>H, K</math> ，有其中一个群到另一个群上[[自同构群]]的[[群同态]] <math>\theta:K\to\operatorname{Aut}(H)</math> ，
则可以定义[[笛卡尔积]] <math>H\times K</math> 上的二元运算 <math>\bullet_\theta</math> 满足 <math>(h_1,k_1)\bullet_\theta(h_2,k_2) = (h_1 \theta_{k_1}(h_2) , k_1 k_2)</math> ，则 <math>\langle H\times K, \bullet_\theta \rangle</math> 是一个群，称为群 <math>H</math> 和群 <math>K</math> 的'''半直积'''('''semidirect product''')，记作 <math>H \rtimes_\theta K</math> 。

注：如果两个群是同一个群平凡相交的两个正规子群，这个同态可以是[[共轭]]，即 <math>\theta: k \mapsto h \mapsto khk^{-1}</math> ，就是 <math>(h_1 k_1 h_2 k_1^{-1}, k_1 k_2)</math> 。此时再经过 <math>H\times K\to HK; (h,k)\mapsto hk</math> 就变成了 <math>h_1 k_1 h_2 k_2</math> ，是一个群同构，因此是内直积。

注：两个群可交换情况下的共轭，或者同态固定把一切元素都映射到恒等映射，即 <math>\theta: k \mapsto h \mapsto h</math> ，则得到 <math>(h_1 h_2, k_1 k_2)</math> ，此时半直积就是两个群的直积本身。

注：群的半直积不是一个群，而是一系列取决于 <math>\theta</math> 的群，但是记号上经常省略 <math>\theta</math> ，直接记作 <math>H \rtimes K</math> 。

== 性质 ==

半直积中含有两个群的同构嵌入， <math>h \mapsto (h, e_K), k \mapsto (e_H, k)</math> ，这两个嵌入是半直积中的[[可置换补群]]。

半直积是一个群扩张。也就是说， <math>\{e\}\to H \to H\rtimes_\theta K \to K \to \{e\}</math> 是[[短正合列（群）|短正合列]]。


{{有限群理论}}