群半直积

半直积
术语名称	半直积
英语名称

群的半直积(semidirect product)是两个群构造群扩张的方式，是群直积和群内直积的推广。

定义

对两个群 [math]\displaystyle{ H, K }[/math] ，有其中一个群到另一个群上自同构群的群同态 [math]\displaystyle{ \theta:K\to\operatorname{Aut}(H) }[/math] ， 则可以定义笛卡尔积 [math]\displaystyle{ H\times K }[/math] 上的二元运算 [math]\displaystyle{ \bullet_\theta }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ (h_1,k_1)\bullet_\theta(h_2,k_2) = (h_1 \theta_{k_1}(h_2) , k_1 k_2) }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ \langle H\times K, \bullet_\theta \rangle }[/math] 是一个群，称为群 [math]\displaystyle{ H }[/math] 和群 [math]\displaystyle{ K }[/math] 的半直积(semidirect product)，记作 [math]\displaystyle{ H \rtimes_\theta K }[/math] 。

注：如果两个群是同一个群平凡相交的两个正规子群，这个同态可以是共轭，即 [math]\displaystyle{ \theta: k \mapsto h \mapsto khk^{-1} }[/math] ，就是 [math]\displaystyle{ (h_1 k_1 h_2 k_1^{-1}, k_1 k_2) }[/math] 。此时再经过 [math]\displaystyle{ H\times K\to HK; (h,k)\mapsto hk }[/math] 就变成了 [math]\displaystyle{ h_1 k_1 h_2 k_2 }[/math] ，是一个群同构，因此是内直积。

注：两个群可交换情况下的共轭，或者同态固定把一切元素都映射到恒等映射，即 [math]\displaystyle{ \theta: k \mapsto h \mapsto h }[/math] ，则得到 [math]\displaystyle{ (h_1 h_2, k_1 k_2) }[/math] ，此时半直积就是两个群的直积本身。

注：群的半直积不是一个群，而是一系列取决于 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] 的群，但是记号上经常省略 [math]\displaystyle{ \theta }[/math] ，直接记作 [math]\displaystyle{ H \rtimes K }[/math] 。

性质

半直积中含有两个群的同构嵌入， [math]\displaystyle{ h \mapsto (h, e_K), k \mapsto (e_H, k) }[/math] ，这两个嵌入是半直积中的可置换补群。

半直积是一个群扩张。也就是说， [math]\displaystyle{ \{e\}\to H \to H\rtimes_\theta K \to K \to \{e\} }[/math] 是短正合列。

有限群理论
子群存在性
特殊阶数群	[math]\displaystyle{ p }[/math]-群			[math]\displaystyle{ pq }[/math]-群
特殊阶数子群	类方程	Cauchy 定理	Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群		Sylow 第二定理	Sylow 第三定理
由单群合成
逐层构造	次正规列、正规列、因子			单群、合成列
	Zassenhaus 引理		Schreier 细化定理		Jordan–Hölder 定理
组合方式	群正合列	群直积（群内直积）、群半直积		群短正合列	群扩张
交换的对称性
交换性成分	换位子、导群		导列		可解群