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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=同态
|eng_name=homomorphism
}}
群'''同态'''('''homomorphism''')指两个[[群]]之间保持结构的[[映射]]。

具体地说，将一个群里有运算关系的元素，映射到另一个群里有同样运算关系的元素。

== 定义 ==

对群 <math>\langle G, {\color{red}\cdot} \rangle</math> 和 <math>\langle H, {\color{green}\cdot} \rangle</math> ，映射 <math>\varphi: G\to H</math> ，若 <math>(\forall a, b \in G)(\varphi(a {\color{red}\cdot} b) = \varphi(a) {\color{green}\cdot} \varphi(b))</math> ，则称映射 <math>\varphi</math> 是从群 <math>G</math> 到群 <math>H</math> 的一个'''同态映射'''或一个'''同态'''('''homomorphism''')。若存在其他名称可能混淆的关系，称为'''群同态'''以进行区分。

从群 <math>G</math> 到 <math>H</math> 所有（群）同态的集合称为从 <math>G</math> 到 <math>H</math> 的（群）'''同态集'''，记作 <math>\mathrm{Hom}(G,G')</math> 。

=== 交换图 ===

以上定义等价于[[集合范畴]]中，下图可交换。

<math>
\begin{array}{ccc}
G \times G & \xrightarrow{\varphi\times\varphi} & H \times H \\
{\color{red}\cdot} \downarrow & & \downarrow {\color{green}\cdot} \\
G & \xrightarrow{\varphi} & H
\end{array}
</math>

或者说，经过以下两个路径的映射结果总是相同的：

<math>
\begin{array}{ccc}
(a,b) & \xrightarrow{\varphi\times\varphi} & (\varphi(a),\varphi(b)) \\
& & \downarrow {\color{blue}\cdot} \\
& & \varphi(a){\color{blue}\cdot}\varphi(b)\\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{ccc}
(a,b) & & \\
{\color{red}\cdot} \downarrow & & \\
a{\color{red}\cdot} b & \xrightarrow{\varphi} & \varphi(a{\color{red}\cdot} b)
\end{array}
</math>

== 性质 ==

* 保持结构
** 同态把幺元映射到幺元，把逆元映射到逆元。
** 对有有限阶的元素，同态后元素仍有有限阶且必然整除同态前的阶。
** 同态把子群映射到子群，'''满'''同态把正规子群映射到正规子群。

* 同态的复合仍然是同态。
* 陪域是[[交换群]]的同态能保证两个同态逐点运算 <math>\varphi\cdot\psi: x \mapsto \varphi(x)\cdot\psi(x)</math> 后仍然得到同态，使得两个交换群之间全体同态关于逐点运算得到得构成一个交换群。

== 分类 ==

单射的（群）同态称为[[单同态]]，满射的（群）同态称为[[满同态]]，而双射的（群）同态称为（群）[[群同构|同构]]。

一个群到其自身的同态称为[[群自同态|自同态]]。

== 举例 ==

=== 平凡同态 ===

{{InfoBox
|name=平凡同态
|eng_name=trivial homomorphism
}}
特别地，两个群间的[[常值映射]]  <math>G\to H ; g \mapsto e_H</math> 总是一个群同态，称为'''平凡同态'''('''trivial homomorphism''')。

=== 包含映射/嵌入映射 ===

[[子群]]到群的[[包含映射]]总是一个群同态，因此也称为'''包含同态'''('''inclusion homomorphism''')/'''嵌入同态'''，而且是个单同态。

=== 自然同态 ===

群到[[商群]]的[[自然映射]]总是一个群同态，因此也称为'''自然同态'''('''natural homomorphism''')，而且是个满同态。

=== 指数映射 ===

整数加法群 <math>\langle \mathbb{Z},+ \rangle</math> 到任意群 <math>G</math> 的映射 <math> m\mapsto a^m</math> 总是一个群同态。


{{群论}}