群同态
| 同态 | |
|---|---|
| 术语名称 | 同态 |
| 英语名称 | homomorphism |
群同态(homomorphism)指两个群之间保持结构的映射。
具体地说，将一个群里有运算关系的元素，映射到另一个群里有同样运算关系的元素。
定义
对群 [math]\displaystyle{ \langle G, {\color{red}\cdot} \rangle }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \langle H, {\color{green}\cdot} \rangle }[/math] ，映射 [math]\displaystyle{ \varphi: G\to H }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\forall a, b \in G)(\varphi(a {\color{red}\cdot} b) = \varphi(a) {\color{green}\cdot} \varphi(b)) }[/math] ，则称映射 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] 是从群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 到群 [math]\displaystyle{ H }[/math] 的一个同态映射或一个同态(homomorphism)。
交换图
以上定义等价于集合范畴中，下图可交换。
[math]\displaystyle{ \begin{array}{ccc} G \times G & \xrightarrow{\varphi\times\varphi} & H \times H \\ {\color{red}\cdot} \downarrow & & \downarrow {\color{green}\cdot} \\ G & \xrightarrow{\varphi} & H \end{array} }[/math]
或者说，经过以下两个路径的映射结果总是相同的：
[math]\displaystyle{ \begin{array}{ccc} (a,b) & \xrightarrow{\varphi\times\varphi} & (\varphi(a),\varphi(b)) \\ & & \downarrow {\color{blue}\cdot} \\ & & \varphi(a){\color{blue}\cdot}\varphi(b)\\ \end{array} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{array}{ccc} (a,b) & & \\ {\color{red}\cdot} \downarrow & & \\ a{\color{red}\cdot} b & \xrightarrow{\varphi} & \varphi(a{\color{red}\cdot} b) \end{array} }[/math]
性质
- 保持结构
- 同态把幺元映射到幺元，把逆元映射到逆元。
- 对有有限阶的元素，同态后元素仍有有限阶且必然整除同态前的阶。
- 同态把子群映射到子群，满同态把正规子群映射到正规子群。
- 同态的复合仍然是同态。
- 陪域是交换群的同态能保证两个同态逐点运算 [math]\displaystyle{ \varphi\cdot\psi: x \mapsto \varphi(x)\cdot\psi(x) }[/math] 后仍然得到同态，使得两个交换群之间全体同态关于逐点运算得到得构成一个交换群。
分类
单射的（群）同态称为单同态，满射的（群）同态称为满同态，而双射的（群）同态称为（群）同构。
举例
平凡同态
| 平凡同态 | |
|---|---|
| 术语名称 | 平凡同态 |
| 英语名称 | trivial homomorphism |
特别地，两个群间的常值映射 [math]\displaystyle{ G\to H ; g \mapsto e_H }[/math] 总是一个群同态，称为平凡同态(trivial homomorphism)。
包含映射/嵌入映射
子群到群的包含映射总是一个群同态，因此也称为包含同态(inclusion homomorphism)/嵌入同态，而且是个单同态。
自然同态
群到商群的自然映射总是一个群同态，因此也称为自然同态(natural homomorphism)，而且是个满同态。
指数映射
整数加法群 [math]\displaystyle{ \langle \mathbb{Z},+ \rangle }[/math] 到任意群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的映射 [math]\displaystyle{ m\mapsto a^m }[/math] 总是一个群同态。