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[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=扩张
|eng_name=extension
}}
群'''扩张'''('''extension''')指[[群]]通过[[短正合列（群）|短正合列]]产生的群，是[[商群]]的逆运算。
主要思想是[[群直积]]不构成商群的逆运算，有相同商群的群可能不是同一结构，因此无法精确描述群的结构。
与商群中把陪集看成元素的操作相反，将商群中的每一个元素扩展成群，来恢复群的结构<ref>https://wuli.wiki/online/GrpExt.html</ref>。

== 定义 ==

对群 <math>N,H</math> ，若存在短正合列 <math>\{e\}\to N \to G \to H \to \{e\}</math> ，则称群 <math>G</math> 是群 <math>H</math> 通过群 <math>N</math> 的'''扩张'''('''extension''' of <math>H</math> by <math>N</math>)。

若其中 <math>H</math> 同构于 <math>G</math> 的子群， <math>N\cap H = \{e\}</math> ，则称这一短正合列为一个'''分裂'''('''split''')，此时称扩张为'''分裂扩张'''('''split extension''')。

=== 等价定义 ===

对群 <math>N,H</math> ，若存在群 <math>G</math> 和群同态 <math>f:G\to H</math> ，满足 <math>\ker f \cong N</math> ，则称群 <math>G</math> 是群 <math>H</math> 通过群 <math>N</math> 的'''扩张'''，此时群 <math>N</math> 称为这个扩张的'''扩张核'''。


{{有限群理论}}