群扩张

扩张
术语名称	扩张
英语名称	extension

群扩张(extension)指群通过短正合列产生的群，是商群的逆运算。 主要思想是群直积不构成商群的逆运算，有相同商群的群可能不是同一结构，因此无法精确描述群的结构。 与商群中把陪集看成元素的操作相反，将商群中的每一个元素扩展成群，来恢复群的结构。

定义

对群 [math]\displaystyle{ N,H }[/math] ，若存在短正合列 [math]\displaystyle{ \{e\}\to N \to G \to H \to \{e\} }[/math] ，则称群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是群 [math]\displaystyle{ H }[/math] 通过群 [math]\displaystyle{ N }[/math] 的扩张(extension of [math]\displaystyle{ H }[/math] by [math]\displaystyle{ N }[/math])。

若其中 [math]\displaystyle{ H }[/math] 同构于 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的子群， [math]\displaystyle{ N\cap H = \{e\} }[/math] ，则称这一短正合列为一个分裂(split)，此时称扩张为分裂扩张(split extension)。

等价定义

对群 [math]\displaystyle{ N,H }[/math] ，若存在群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 和群同态 [math]\displaystyle{ f:G\to H }[/math] ，满足 [math]\displaystyle{ \ker f \cong N }[/math] ，则称群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是群 [math]\displaystyle{ H }[/math] 通过群 [math]\displaystyle{ N }[/math] 的扩张，此时群 [math]\displaystyle{ N }[/math] 称为这个扩张的扩张核。

有限群理论
子群存在性
特殊阶数群	[math]\displaystyle{ p }[/math]-群			[math]\displaystyle{ pq }[/math]-群
特殊阶数子群	类方程	Cauchy 定理	Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群		Sylow 第二定理	Sylow 第三定理
由单群合成
逐层构造	次正规列、正规列、因子			单群、合成列
	Zassenhaus 引理		Schreier 细化定理		Jordan–Hölder 定理
组合方式	群正合列	群直积（群内直积）、群半直积		群短正合列	群扩张
交换的对称性
交换性成分	换位子、导群		导列		可解群