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[[分类:二元关系]]{{DEFAULTSORT:zi4fan3bi4bao1}}
{{#seo:
|keywords=自反闭包, 闭包运算, 自反关系
|description=本文介绍自反闭包的定义、计算方法及其在二元关系理论中的性质，包括自反闭包与恒等关系的关系及其在各种运算下的行为。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2023-04-26
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{{InfoBox
|name=自反闭包
|eng_name=reflexive closure
}}
'''自反闭包'''('''reflexive closure''')是指对[[集合]]上一个二元[[关系]]，包含该关系的最小[[自反关系]]。

== 定义 ==

{{Operation
|name=自反闭包
|symbol=<math>\operatorname{r}()</math>,<math>\bullet^=</math>,<math>\bullet^r</math>
|latex=\operatorname{r}(),^=,^r
|operand=关系
|operand_num=1
|result=关系
|domain=<math>\mathcal{P}(X\times X)</math>
|codomain=<math>\mathcal{P}(X\times X)</math>
}}
对集合 <math>X</math> 上的二元关系 <math>R</math> ，定义满足以下条件的所有关系 <math>S</math>：
* <math>S</math> 是自反关系，
* <math>S \supseteq R</math> ，
其中必有一个关系是其他所有关系的子集，称为关系 <math>R</math> 的'''自反闭包'''('''reflexive closure''')，记作 <math>\operatorname{r}(R)</math> 、 <math>R^=</math> 或 <math>R^r</math> 。

== 性质 ==

* 基本性质
** 计算： <math>\operatorname{r}(R) = R \cup I_X</math>  。集合 <math>X</math> 上关系的自反闭包是这一关系与 <math>X</math> 上[[恒等关系]]的[[并关系|并]]。
** 自反关系的自反闭包是关系自身。
** 自反闭包是包含 <math>R</math> 的最小自反关系。
** 自反闭包是向 <math>R</math> 上添加最少有序对构成的自反关系。
* 运算性质
** 自反闭包运算是[[幂等性（一元运算）|幂等]]的： <math>\operatorname{r}(\operatorname{r}(R)) = \operatorname{r}(R)</math> 。
** 自反闭包运算是[[单调性|单调]]的： <math>R \subseteq S \rightarrow \operatorname{r}(R) \subseteq \operatorname{r}(S)</math> 。
** 自反闭包与[[并关系|并]]运算可交换： <math>\operatorname{r}(R \cup S) = \operatorname{r}(R) \cup \operatorname{r}(S)</math> 。
** 自反闭包与[[交关系|交]]运算不一定可交换： <math>\operatorname{r}(R \cap S) \subseteq \operatorname{r}(R) \cap \operatorname{r}(S)</math> 。
** 自反闭包与[[逆关系]]可交换：<math>\operatorname{r}(R^{-1}) = (\operatorname{r}(R))^{-1}</math> 。
* 与其他闭包运算的关系
** 自反闭包与[[对称闭包]][[可交换]]：<math>\operatorname{r}(\operatorname{s}(R)) = \operatorname{s}(\operatorname{r}(R))</math> 。
** 自反闭包与[[传递闭包]]可交换：<math>\operatorname{r}(\operatorname{t}(R)) = \operatorname{t}(\operatorname{r}(R))</math> 。
*** 自反闭包与传递闭包复合得到[[自反传递闭包]]：<math>\operatorname{t}(\operatorname{r}(R)) = R^*</math> 。
* 特殊关系的自反闭包
** [[空关系]]的自反闭包是[[恒等关系]]：<math>\operatorname{r}(\varnothing) = I_X</math> 。
** [[恒等关系]]的自反闭包是其自身：<math>\operatorname{r}(I_X) = I_X</math> 。
** [[全关系]]的自反闭包是其自身：<math>\operatorname{r}(X \times X) = X \times X</math> 。
* 表示
** 关系图
*** 自反闭包的关系图是在原关系图的每个顶点上添加自环得到。
** 关系矩阵
*** 自反闭包的关系矩阵是原关系矩阵与单位矩阵的逐元素[[逻辑或]]。
*** 自反闭包的关系矩阵，在关系的矩阵基础上，主对角线元素全为 1 。


{{关系}}