自反闭包
| 自反闭包 | |
|---|---|
| 术语名称 | 自反闭包 |
| 英语名称 | reflexive closure |
自反闭包(reflexive closure)是指对集合上一个二元关系，包含该关系的最小自反关系。
定义
| 自反闭包 | |
|---|---|
| 运算名称 | 自反闭包 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math],[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math],[math]\displaystyle{ \bullet^r }[/math] |
| Latex | \operatorname{r}(), ^=, ^r
|
| 运算对象 | 关系 |
| 运算元数 | 1 |
| 运算结果 | 关系 |
| 定义域 | [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X\times X) }[/math] |
| 陪域 | [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X\times X) }[/math] |
对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，定义满足以下条件的所有关系 [math]\displaystyle{ S }[/math]：
- [math]\displaystyle{ S }[/math] 是自反关系，
- [math]\displaystyle{ S \supseteq R }[/math] ，
其中必有一个关系是其他所有关系的子集，称为关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的自反闭包(reflexive closure)，记作 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}(R) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ R^= }[/math] 或 [math]\displaystyle{ R^r }[/math] 。
性质
- 基本性质
- 运算性质
- 自反闭包运算是幂等的： [math]\displaystyle{ \operatorname{r}(\operatorname{r}(R)) = \operatorname{r}(R) }[/math] 。
- 自反闭包运算是单调的： [math]\displaystyle{ R \subseteq S \rightarrow \operatorname{r}(R) \subseteq \operatorname{r}(S) }[/math] 。
- 自反闭包与并运算可交换： [math]\displaystyle{ \operatorname{r}(R \cup S) = \operatorname{r}(R) \cup \operatorname{r}(S) }[/math] 。
- 自反闭包与交运算不一定可交换： [math]\displaystyle{ \operatorname{r}(R \cap S) \subseteq \operatorname{r}(R) \cap \operatorname{r}(S) }[/math] 。
- 自反闭包与逆关系可交换：[math]\displaystyle{ \operatorname{r}(R^{-1}) = (\operatorname{r}(R))^{-1} }[/math] 。
- 与其他闭包运算的关系
- 自反闭包与对称闭包可交换：[math]\displaystyle{ \operatorname{r}(\operatorname{s}(R)) = \operatorname{s}(\operatorname{r}(R)) }[/math] 。
- 自反闭包与传递闭包可交换：[math]\displaystyle{ \operatorname{r}(\operatorname{t}(R)) = \operatorname{t}(\operatorname{r}(R)) }[/math] 。
- 自反闭包与传递闭包复合得到自反传递闭包：[math]\displaystyle{ \operatorname{t}(\operatorname{r}(R)) = R^* }[/math] 。
- 特殊关系的自反闭包
- 表示
- 关系图
- 自反闭包的关系图是在原关系图的每个顶点上添加自环得到。
- 关系矩阵
- 自反闭包的关系矩阵是原关系矩阵与单位矩阵的逐元素逻辑或。
- 自反闭包的关系矩阵，在关系的矩阵基础上，主对角线元素全为 1 。
- 关系图