查看“︁自然变换”︁的源代码

[[分类:范畴论]]
{{InfoBox
|name=自然变换
|eng_name=natural transformation
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|name=分量
|eng_name=component
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'''自然变换'''('''natural transformation''')指对[[范畴]]间的[[函子]]保持内部结构的变换。

== 定义 ==

对从范畴 <math>\mathcal{C}</math> 到范畴 <math>\mathcal{D}</math> 的两个函子 <math>F</math> 和 <math>G</math> ，若一族态射满足：
* 将范畴 <math>\mathcal{C}</math> 中的每个对象 <math>X</math> 关联到范畴 <math>\mathcal{D}</math> 中的一个态射 <math>\eta_X:F(X)\to G(X)</math> ；
* 对范畴 <math>\mathcal{C}</math> 中的每个态射 <math>f: X\to Y</math> 有 <math>\eta_Y \circ F(f) = G(f) \circ \eta_X</math> 。
则称这族态射 <math>\eta</math> 为一个从函子 <math>F</math> 到函子 <math>G</math> 的'''自然变换'''('''natural transformation''')，记作 <math>\eta: F\to G</math> 或者 <math>\eta: F\Rightarrow G</math> ，也说映射族 <math>\eta_X: F(X)\to G(X)</math> 是'''自然'''('''natural''')的。
其中态射 <math>\eta_X</math> 称为自然映射 <math>\eta</math> 在对象 <math>X</math> 处的'''分量'''('''component''' of <math>\eta</math> at <math>X</math> )。

也就是说有以下[[交换图]]成立：

<math>
\begin{array}{ccccc}
X & & F(X) &\xrightarrow{\eta_X} &G(X) \\
{\small f} \downarrow & & {\small F(f)}\downarrow && \downarrow {\small G(f)} \\
Y & & F(Y) &\xrightarrow{\eta_Y} &G(Y) \\
\end{array}
</math>


{{范畴论}}