自然变换

自然变换
术语名称	自然变换
英语名称	natural transformation

分量
术语名称	分量
英语名称	component

自然变换(natural transformation)指对范畴间的函子保持内部结构的变换。

定义

对从范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 到范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{D} }[/math] 的两个函子 [math]\displaystyle{ F }[/math] 和 [math]\displaystyle{ G }[/math] ，若一族态射满足：

• 将范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 中的每个对象 [math]\displaystyle{ X }[/math] 关联到范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{D} }[/math] 中的一个态射 [math]\displaystyle{ \eta_X:F(X)\to G(X) }[/math] ；
• 对范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] 中的每个态射 [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math] 有 [math]\displaystyle{ \eta_Y \circ F(f) = G(f) \circ \eta_X }[/math] 。

则称这族态射 [math]\displaystyle{ \eta }[/math] 为一个从函子 [math]\displaystyle{ F }[/math] 到函子 [math]\displaystyle{ G }[/math] 的自然变换(natural transformation)，记作 [math]\displaystyle{ \eta: F\to G }[/math] 或者 [math]\displaystyle{ \eta: F\Rightarrow G }[/math] ，也说映射族 [math]\displaystyle{ \eta_X: F(X)\to G(X) }[/math] 是自然(natural)的。 其中态射 [math]\displaystyle{ \eta_X }[/math] 称为自然映射 [math]\displaystyle{ \eta }[/math] 在对象 [math]\displaystyle{ X }[/math] 处的分量(component of [math]\displaystyle{ \eta }[/math] at [math]\displaystyle{ X }[/math] )。

也就是说有以下交换图成立：

[math]\displaystyle{ \begin{array}{ccccc} X & & F(X) &\xrightarrow{\eta_X} &G(X) \\ {\small f} \downarrow & & {\small F(f)}\downarrow && \downarrow {\small G(f)} \\ Y & & F(Y) &\xrightarrow{\eta_Y} &G(Y) \\ \end{array} }[/math]

范畴、态射
基本概念	范畴	态射、交换图
态射	单态射、满态射	双态射
	分裂单态射、分裂满态射（收缩、截面）	同构
泛在结构、泛性质
终端对象	始对象、终对象	零对象、零态射
泛在结构	切片范畴、余切片范畴	-
	楔、余楔·楔范畴、余楔范畴	积、余积
	锥、余锥·锥范畴、余锥范畴	极限、余极限
	-	等化子、余等化子
	-	核、余核