查看“︁自然常数”︁的源代码

[[分类:数的实例]]
[[分类:以 Euler 命名]]
[[分类:以 Napier 命名]]
{{非标准翻译}}
{{InfoBox
|name=自然对数之底
|eng_name=Euler's number
|aliases=base of the natural logarithm,Napier's constant,自然常数,natural constant,exponential constant
}}
'''e''' 指[[自然对数]]之底，也就是满足在 1 处斜率为 1 的[[对数函数]]的底数；对应的[[自然指数]]函数也在 (0,1) 处斜率刚好为 1 ，且其[[导函数]]就是自身。这几点优良性质使得它在涉及微积分时是极其常见的底数，同时也使得 e 会出现在一些级数极限上。

由于通常只使用 e 来表达这个常量，对其很少使用某个公认的名称，有时称为自然对数之底。有时也称为 '''Euler 数'''('''Euler's number''')和 '''Napier 数'''('''Napier's contant''')，但是都不常用。

== 定义 ==

{{Identity
|name=e
|symbol=<math>\mathrm{e}</math>,<math>e</math>
|latex=\mathrm{e},e
|type=超越数
}}
以下常用定义等价（等价形式很多，以下为最常见的定义）：
* 极限 <math>\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n</math> （被称为'''重要极限'''），来自连续复利计算的极限形式。
* 函数值 <math>\exp(1) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}</math> ，是[[微分方程]] <math>y'=y</math> 凑出的（自然）指数函数 <math>\exp (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> 的底，也就是这个函数在 1 处的取值。
* 满足 <math>\int_1^e \frac{1}{x} \mathup{d}x = 1</math> 的 <math>e</math> 。

这一常量通常使用 <math>\mathrm{e}</math> 表示，也使用 <math>e</math> <ref>一般来说常量不应该用斜体，但是 e 很多时候会被写成斜体。</ref>。

== 性质 ==

是无理数。

是超越数。

十进制小数展开约为 2.71828 。

[[连分数]]形式为 <math>[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\cdots,1,2n,1,\cdots]</math> ，以 <math>1,2n,1</math> 为规律无限不循环。