自然常数

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自然对数之底
术语名称	自然对数之底
英语名称	Euler's number
别名	base of the natural logarithm, Napier's constant, 自然常数, natural constant, exponential constant

e 指自然对数之底，也就是满足在 1 处斜率为 1 的对数函数的底数；对应的自然指数函数也在 (0,1) 处斜率刚好为 1 ，且其导函数就是自身。这几点优良性质使得它在涉及微积分时是极其常见的底数，同时也使得 e 会出现在一些级数极限上。

由于通常只使用 e 来表达这个常量，对其很少使用某个公认的名称，有时称为自然对数之底。有时也称为 Euler 数(Euler's number)和 Napier 数(Napier's contant)，但是都不常用。

定义

e
对象名称	e
对象记号	[math]\displaystyle{ \mathrm{e} }[/math],[math]\displaystyle{ e }[/math]
Latex	\mathrm{e} , e
对象类别	超越数

以下常用定义等价（等价形式很多，以下为最常见的定义）：

极限 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n }[/math] （被称为重要极限），来自连续复利计算的极限形式。
函数值 [math]\displaystyle{ \exp(1) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} }[/math] ，是微分方程 [math]\displaystyle{ y'=y }[/math] 凑出的（自然）指数函数 [math]\displaystyle{ \exp (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} }[/math] 的底，也就是这个函数在 1 处的取值。
满足 [math]\displaystyle{ \int_1^e \frac{1}{x} \mathup{d}x = 1 }[/math] 的 [math]\displaystyle{ e }[/math] 。

这一常量通常使用 [math]\displaystyle{ \mathrm{e} }[/math] 表示，也使用 [math]\displaystyle{ e }[/math] ^[1]。

是无理数。

是超越数。

十进制小数展开约为 2.71828 。

连分数形式为 [math]\displaystyle{ [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\cdots,1,2n,1,\cdots] }[/math] ，以 [math]\displaystyle{ 1,2n,1 }[/math] 为规律无限不循环。