查看“︁自然指数”︁的源代码

[[分类:数的运算]]
{{非标准翻译}}
{{InfoBox
|name=自然指数
|eng_name=exponential function
|aliases=自然指数函数,natural exponential function
}}
'''自然指数'''('''(natural) exponential function''')指以[[自然常数]] e 为底的[[指数函数]]。其逆运算为[[自然对数]]。

对应连续的“一直按当前数值增加”的概念，其导函数与自身相同。

== 定义 ==

=== 微分方程定义 ===

微分方程 <math>f(x) = \frac{\mathup{d}}{\mathup{d}x} f(x)</math> 的解一定有相同形式，只差一个系数区别。将其中满足 <math>f(0)=1</math> 的解定义为 <math>\exp x</math> 。

由于这一函数就是以自然常数为底的指数函数，也直接记作 <math>\mathrm{e}^x</math> 或 <math>e^x</math> 。

=== 级数定义 ===

<math>
\exp x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots
</math>

{{Function
|name=自然指数函数
|symbol=<math>\exp</math>,<math>\mathrm{e}^\bullet</math>,<math>e^\bullet</math>
|latex=\exp,\mathrm{e}^,e^
|prototype=双射
|domain=<math>\mathbb{R}</math>
|codomain=<math>\mathbb{R}_+</math>
}}

== 性质 ==

自然指数函数是一个[[双射]]。在全定义域上[[严格单调递增]]。

图像有渐近线 <math>x=0</math> 。


{{特殊指对幂函数}}

== 琐事 ==

=== 名称 ===

英语 exponential function 对应指数函数，有时特指以 e 为底的指数函数。
需要区分特指时才加 natural 一词。
中文对这个函数没有专门的名称，只说 e 的 x （次幂）。