自然指数
本条目没有一致可信的中文译名。
| 自然指数 | |
|---|---|
| 术语名称 | 自然指数 |
| 英语名称 | exponential function |
| 别名 | 自然指数函数, natural exponential function |
自然指数((natural) exponential function)指以自然常数 e 为底的指数函数。其逆运算为自然对数。
对应连续的“一直按当前数值增加”的概念，其导函数与自身相同。
定义
微分方程定义
微分方程 [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{\mathup{d}}{\mathup{d}x} f(x) }[/math] 的解一定有相同形式，只差一个系数区别。将其中满足 [math]\displaystyle{ f(0)=1 }[/math] 的解定义为 [math]\displaystyle{ \exp x }[/math] 。
级数定义
[math]\displaystyle{ \exp x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots }[/math]
| 自然指数 | |
|---|---|
| 函数名称 | 自然指数函数 |
| 函数符号 | [math]\displaystyle{ \exp }[/math] |
| Latex | \exp
|
| 类型 | 双射 |
| 定义域 | [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] |
| 陪域 | [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_+ }[/math] |
性质
图像有渐近线 [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] 。
| 特殊指对幂函数 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 运算 | 位置 | -1 | 0 | 1 | 2 | e | 3 | 10 |
| 乘方 | 指数 （幂函数） |
倒数函数 | 0 处无定义 的常函数 |
恒等函数 | 平方 | e 次方 | 立方 | 10 次方 |
| 底数 （指数函数） |
奇偶性/ 符号 |
部分定义 的常函数 |
常函数 | 2 的幂 | 自然指数 | 3 的幂 | 10 的幂 | |
| 开方 | 根指数 | 倒数函数 | 0 处无定义 的常函数 |
恒等函数 | 开平方 | - | 开立方 | - |
| 对数 | 底数 （对数函数） |
- | - | - | 以 2 为底 的对数 |
自然对数 | 以 3 为底 的对数 |
常用对数 |
琐事
名称
英语 exponential function 对应指数函数，有时特指以 e 为底的指数函数。 需要区分特指时才加 natural 一词。 中文对这个函数没有专门的名称，只说 e 的 x （次幂）。