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[[分类:群论]]
[[分类:群实例]]
{{InfoBox
|name=自由交换群
|eng_name=free abelian group
|aliases=自由阿贝尔群
}}
'''自由交换群'''/'''自由<ins>阿贝尔</ins>群'''('''free abelian group''')指由给定集合生成，除元素间[[可交换]]外没有任何额外约束的[[交换群]]。

自由群中的“自由(free)”是指不假定任何关系<ref>https://mathworld.wolfram.com/FreeGroup.html</ref>，或者说“无关(relation-free)”<ref>https://www.quora.com/What-is-a-free-group-in-abstract-algebra#:~:text=by%20defining%20relations.-,So%20why%20are%20they%20called%20%E2%80%9Cfree%E2%80%9D%3F,no%20relations%20among%20the%20generators.</ref>。可以形象地说，是对这个集合，使用一个“无关”的[[运算]]，并增加元素使运算保证[[群]]公理，（不再附加任何其他条件），此时得到的群就是其上的自由群。“无关”的运算指集合中没有任何几个元素之间有运算关系（除任意两个元素在这个运算下可交换外），因此没有任何特殊结构。

对给定集合是[[空集]]或[[单元素集]]的情况就是[[自由群]]。
由于自由交换群实际附加了元素在运算下可交换的要求，在元素大于一个的时候不再是自由群。
[[整数加群]]同构于单元素集上的自由交换群，因此自由交换群可以看作其推广。

== 定义 ==

=== 泛性质 ===

对集合 <math>A</math> ，有范畴 <math>\mathcal{F}_{\mathbf{Ab}}^A</math> 满足：
* 范畴中的对象是交换群与从 <math>A</math> 到这个群的映射所构成的有序对 <math>(j,G)</math> ，
* 范畴中的态射是满足以下[[交换图]]的交换群同态 <math>\varphi</math> ，

<math>
\begin{array}{rcl}
G_1 & \xrightarrow{\varphi} & G_2 \\
{\small j_1} \uparrow & \nearrow & {\small j_2} \\
A && \\
\end{array}
</math>

其中可以认为 <math>A,j_1,G_1,j_2,G_2</math> 是[[集合范畴]]中的对象和态射， <math>G_1,G_2,\varphi</math> 是[[交换群范畴]]中的对象和态射。

则范畴 <math>\mathcal{F}_{\mathbf{Ab}}^A</math> 中必然存在一个[[始对象]]，称为集合 <math>A</math> 上的'''自由交换群'''('''free abelian group''' over/on <math>A</math> )。

其存在性由下述构造保证。

=== 构造定义 ===

<blockquote>
注：这一定义中出现的中间术语不是固定名称，不同的材料中有不同的名称选取。
</blockquote>

对集合 <math>A</math> ，设其有限且大小为 <math>n</math> 。此时得到 <math>n</math> 个整数加群的[[直和]]（或者说群范畴中的余积） <math>\mathbb{Z}^{\oplus n}</math> ，并记映射 <math>j:A\to \mathbb{Z}^{\oplus n}</math> ，将 <math>A</math> 中的第 <math>i</math> 个元素映射到第 <math>i</math> 个分量为 1 、其余分量为 0 的向量 <math>(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)</math> ，则 <math>(j,\mathbb{Z})</math> 是上述范畴中的一个始对象，由 <math>A</math> 中元素的像生成，且这些像两两不同、不能互相运算得到零向量。因此同构意义上就是其上的自由交换群。

=== 相关定义 ===

集合 <math>A</math> 的像 <math></math> 称为自由交换群 <math>F(A)</math> 的一组'''基'''/'''基底'''('''base''')，其元素称为自由交换群的'''生成元'''('''generator''')，这组基底的[[势]]即生成元的个数称为自由交换群的'''秩'''('''rank''')。

== 性质 ==

自由交换群是一组基底的[[整系数线性组合]]，构成的是[[自由模|自由 <math>\mathbb{Z}</math>-模]]。


{{群论}}