自由交换群
| 自由交换群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 自由交换群 |
| 英语名称 | free abelian group |
| 别名 | 自由阿贝尔群 |
自由交换群/自由阿贝尔群(free abelian group)指由给定集合生成，除元素间可交换外没有任何额外约束的交换群。
自由群中的“自由(free)”是指不假定任何关系[1]，或者说“无关(relation-free)”[2]。可以形象地说，是对这个集合，使用一个“无关”的运算，并增加元素使运算保证群公理，（不再附加任何其他条件），此时得到的群就是其上的自由群。“无关”的运算指集合中没有任何几个元素之间有运算关系（除任意两个元素在这个运算下可交换外），因此没有任何特殊结构。
对给定集合是空集或单元素集的情况就是自由群。 由于自由交换群实际附加了元素在运算下可交换的要求，在元素大于一个的时候不再是自由群。 整数加群同构于单元素集上的自由交换群，因此自由交换群可以看作其推广。
定义
泛性质
对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，有范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{F}_{\mathbf{Ab}}^A }[/math] 满足：
- 范畴中的对象是交换群与从 [math]\displaystyle{ A }[/math] 到这个群的映射所构成的有序对 [math]\displaystyle{ (j,G) }[/math] ，
- 范畴中的态射是满足以下交换图的交换群同态 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] ，
[math]\displaystyle{ \begin{array}{rcl} G_1 & \xrightarrow{\varphi} & G_2 \\ {\small j_1} \uparrow & \nearrow & {\small j_2} \\ A && \\ \end{array} }[/math]
其中可以认为 [math]\displaystyle{ A,j_1,G_1,j_2,G_2 }[/math] 是集合范畴中的对象和态射， [math]\displaystyle{ G_1,G_2,\varphi }[/math] 是交换群范畴中的对象和态射。
则范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{F}_{\mathbf{Ab}}^A }[/math] 中必然存在一个始对象，称为集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的自由交换群(free abelian group over/on [math]\displaystyle{ A }[/math] )。
其存在性由下述构造保证。
构造定义
注：这一定义中出现的中间术语不是固定名称，不同的材料中有不同的名称选取。
对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，设其有限且大小为 [math]\displaystyle{ n }[/math] 。此时得到 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个整数加群的直和（或者说群范畴中的余积） [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}^{\oplus n} }[/math] ，并记映射 [math]\displaystyle{ j:A\to \mathbb{Z}^{\oplus n} }[/math] ，将 [math]\displaystyle{ A }[/math] 中的第 [math]\displaystyle{ i }[/math] 个元素映射到第 [math]\displaystyle{ i }[/math] 个分量为 1 、其余分量为 0 的向量 [math]\displaystyle{ (0,\cdots,0,1,0,\cdots,0) }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ (j,\mathbb{Z}) }[/math] 是上述范畴中的一个始对象，由 [math]\displaystyle{ A }[/math] 中元素的像生成，且这些像两两不同、不能互相运算得到零向量。因此同构意义上就是其上的自由交换群。
相关定义
集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的像 [math]\displaystyle{ }[/math] 称为自由交换群 [math]\displaystyle{ F(A) }[/math] 的一组基/基底(base)，其元素称为自由交换群的生成元(generator)，这组基底的势即生成元的个数称为自由交换群的秩(rank)。
性质
自由交换群是一组基底的整系数线性组合，构成的是自由 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]-模。