查看“︁自由群”︁的源代码

[[分类:群论]]
[[分类:群实例]]
{{InfoBox
|name=自由群
|eng_name=free group
|aliases=free generating set
}}
[[集合]]上的'''自由群'''('''free group''')指由给定集合生成，此外没有任何额外约束的[[群]]。
也说一个可以看作这样生成的群是'''自由的'''('''free''')。

自由群中的“自由(free)”是指不假定任何关系<ref>https://mathworld.wolfram.com/FreeGroup.html</ref>，或者说“无关(relation-free)”<ref>https://www.quora.com/What-is-a-free-group-in-abstract-algebra#:~:text=by%20defining%20relations.-,So%20why%20are%20they%20called%20%E2%80%9Cfree%E2%80%9D%3F,no%20relations%20among%20the%20generators.</ref>。可以形象地说，是对这个集合，使用一个“无关”的[[运算]]，并增加元素使运算保证[[群]]公理，（不再附加任何其他条件），此时得到的群就是其上的自由群。“无关”的运算指集合中没有任何几个元素之间有运算关系，因此没有任何特殊结构。

[[整数加群]]同构于[[单元素集]]上的自由群，因此自由群可以看作其推广。

== 定义 ==

=== 泛性质 ===

对集合 <math>A</math> ，有范畴 <math>\mathcal{F}^A</math> 满足：
* 范畴中的对象是群与从 <math>A</math> 到这个群的映射所构成的有序对 <math>(j,G)</math> ，
* 范畴中的态射是满足以下[[交换图]]的群同态 <math>\varphi</math> ，

<math>
\begin{array}{rcl}
G_1 & \xrightarrow{\varphi} & G_2 \\
{\small j_1} \uparrow & \nearrow & {\small j_2} \\
A && \\
\end{array}
</math>

其中可以认为 <math>A,j_1,G_1,j_2,G_2</math> 是[[集合范畴]]中的对象和态射， <math>G_1,G_2,\varphi</math> 是[[群范畴]]中的对象和态射。

则范畴 <math>\mathcal{F}^A</math> 中必然存在一个[[始对象]]，称为集合 <math>A</math> 上的'''自由群'''('''free group''' over/on <math>A</math> )。

其存在性由下述构造保证。

=== 构造定义 ===

<blockquote>
注：这一定义中出现的中间术语不是固定名称，不同的材料中有不同的名称选取。
</blockquote>

对集合 <math>A</math> ，称 <math>A</math> 为'''字母表'''('''alphabet''')，构造集合 <math>A'</math> ，使得 <math>A'</math> 中每一个元素都一一对应于 <math>A</math> 中的一个元素 <math>a</math> ，记为 <math>a^{-1}</math> ，即此时 <math>A' = \{a^{-1} \mid a \in A \}</math> 。将 <math>A\cup A'</math> 中的每一个元素称为一个'''字母'''('''letter''')，并称字母的[[连接]] <math>a_1 a_2 \cdots a_n</math> 为一个'''字'''/'''词'''('''word''')，其中 <math>a_i \in A\cup A'</math> 。其中字母的个数 <math>n</math> 称为字的'''长度'''('''length''')。特别地， 0 个字母的连接也是一个字，称为'''空字'''('''empty word''')。将所有的字构成的集合记作 <math>W(A)</math> 。

对字 <math>a_1 a_2 \cdots a_n \in W(A)</math> 和 <math>b_1 b_2 \cdots b_n \in W(A)</math> ，将 <math>a_1 a_2 \cdots a_n b_1 b_2 \cdots b_n \in W(A)</math> 定义为 <math>W(A)</math> 上的'''连接'''('''concatenation''')。

若一个字 <math>a_1 a_2 \cdots a_n \in W(A)</math> 满足 <math>(\forall m)\lnot(a_m = a_{m+1}^{-1} \lor a_m^{-1} = a_{m+1})</math>，则称这个字是一个'''最简字'''/'''既约字'''('''reduced word''')，或者说这个字是'''最简'''/'''既约'''('''reduced''')的。将所有的既约字构成的集合记作 <math>F(A)</math> 。显然 <math>F(A)\subseteq W(A)</math> 。

定义一元运算，对任意字 <math>a_1 a_2 \cdots a_n \in W(A)</math> ，若其不是既约的，则必然存在一对相邻字母满足 <math>a_m = a_{m+1}^{-1} \lor a_m^{-1} = a_{m+1}</math> ，此时将其映射到 <math>a_1 a_2 \cdots a_{m-1} a_{m+2} \cdots a_n</math> （即将 <math>a_m a_{m+1}</math> 删去）。这一映射前后字的长度减少 2 ，因此将这一映射[[迭代（映射）|迭代]]至多 <math>\lfloor\tfrac{n}2\rfloor</math> 次必然得到一个既约字。这一一元运算的迭代定义为一元运算'''简化'''/'''归约'''('''reduction''') <math>R:W(A)\to F(A)</math> 。

定义二元运算，将任意字 <math>w_1, w_2 \in F(A)</math> 映射到 <math>R(w_1 w_2) \in W(A)</math> ，其中 <math>w_1 w_2</math> 是 <math>W(A)</math> 上的连接。这一二元运算定义为 <math>F(A)</math> 上的'''连接'''('''concatenation''')。

则可以证明 <math>F(A)</math> 关于 <math>F(A)</math> 上的连接构成一个群。
且此时可证明其由 <math>A</math> 生成，且 <math>A</math> 是一个自由生成元集，即不能由这个集合中的元素运算出运算的[[幺元]]，即空字。
这样构造出来的群满足以上始对象的要求。

=== 相关定义 ===

集合 <math>A</math> 称为自由群 <math>F(A)</math> 的一组'''基'''/'''基底'''('''base''')，其元素称为自由群的'''生成元'''('''generator''')，这组基底的[[势]]即生成元的个数称为自由群的'''秩'''('''rank''')。

如果一个群可以看作由其中一部分元素生成，称这个群是'''自由的'''('''free''')。

== 性质 ==

自由群的基底间没有运算关系，若存在运算关系，会使得运算得到的部分元素相同，也就是引入了某种[[等价关系]]。因此对任意群生成的群，都可以看作自由群[[商群|商]]掉某个子群后的结果。进一步地，考虑群的结构，群本身也能看成是某个自由群的某个商群。

自由群是始对象使其具有泛性质：任何群上的同态都能分解成两步，首先从定义域到其生成的自由群，然后从这个自由群到陪域。若存在运算关系，第二步也可以说是其自由群商群到陪域。

集合是[[空集]]时，其自由群是[[平凡群]]，只含有空字。
集合是单元素集时，得到的群同构于整数加群。
其他情况，即秩大于 1 的情况，其自由群不是[[交换群]]。

秩相等的自由群同构。或者说对同一个[[基数]]，在同构意义下只有唯一一个秩为该基数的自由群。


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