自由群
| 自由群 | |
|---|---|
| 术语名称 | 自由群 |
| 英语名称 | free group |
| 别名 | free generating set |
集合上的自由群(free group)指由给定集合生成，此外没有任何额外约束的群。 也说一个可以看作这样生成的群是自由的(free)。
自由群中的“自由(free)”是指不假定任何关系[1]，或者说“无关(relation-free)”[2]。可以形象地说，是对这个集合，使用一个“无关”的运算，并增加元素使运算保证群公理，（不再附加任何其他条件），此时得到的群就是其上的自由群。“无关”的运算指集合中没有任何几个元素之间有运算关系，因此没有任何特殊结构。
整数加群同构于单元素集上的自由群，因此自由群可以看作其推广。
定义
泛性质
对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，有范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{F}^A }[/math] 满足：
- 范畴中的对象是群与从 [math]\displaystyle{ A }[/math] 到这个群的映射所构成的有序对 [math]\displaystyle{ (j,G) }[/math] ，
- 范畴中的态射是满足以下交换图的群同态 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] ，
[math]\displaystyle{ \begin{array}{rcl} G_1 & \xrightarrow{\varphi} & G_2 \\ {\small j_1} \uparrow & \nearrow & {\small j_2} \\ A && \\ \end{array} }[/math]
其中可以认为 [math]\displaystyle{ A,j_1,G_1,j_2,G_2 }[/math] 是集合范畴中的对象和态射， [math]\displaystyle{ G_1,G_2,\varphi }[/math] 是群范畴中的对象和态射。
则范畴 [math]\displaystyle{ \mathcal{F}^A }[/math] 中必然存在一个始对象，称为集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的自由群(free group over/on [math]\displaystyle{ A }[/math] )。
其存在性由下述构造保证。
构造定义
注：这一定义中出现的中间术语不是固定名称，不同的材料中有不同的名称选取。
对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ A }[/math] 为字母表(alphabet)，构造集合 [math]\displaystyle{ A' }[/math] ，使得 [math]\displaystyle{ A' }[/math] 中每一个元素都一一对应于 [math]\displaystyle{ A }[/math] 中的一个元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] ，记为 [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] ，即此时 [math]\displaystyle{ A' = \{a^{-1} \mid a \in A \} }[/math] 。将 [math]\displaystyle{ A\cup A' }[/math] 中的每一个元素称为一个字母(letter)，并称字母的连接 [math]\displaystyle{ a_1 a_2 \cdots a_n }[/math] 为一个字/词(word)，其中 [math]\displaystyle{ a_i \in A\cup A' }[/math] 。其中字母的个数 [math]\displaystyle{ n }[/math] 称为字的长度(length)。特别地， 0 个字母的连接也是一个字，称为空字(empty word)。将所有的字构成的集合记作 [math]\displaystyle{ W(A) }[/math] 。
对字 [math]\displaystyle{ a_1 a_2 \cdots a_n \in W(A) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ b_1 b_2 \cdots b_n \in W(A) }[/math] ，将 [math]\displaystyle{ a_1 a_2 \cdots a_n b_1 b_2 \cdots b_n \in W(A) }[/math] 定义为 [math]\displaystyle{ W(A) }[/math] 上的连接(concatenation)。
若一个字 [math]\displaystyle{ a_1 a_2 \cdots a_n \in W(A) }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ (\forall m)\lnot(a_m = a_{m+1}^{-1} \lor a_m^{-1} = a_{m+1}) }[/math]，则称这个字是一个最简字/既约字(reduced word)，或者说这个字是最简/既约(reduced)的。将所有的既约字构成的集合记作 [math]\displaystyle{ F(A) }[/math] 。显然 [math]\displaystyle{ F(A)\subseteq W(A) }[/math] 。
定义一元运算，对任意字 [math]\displaystyle{ a_1 a_2 \cdots a_n \in W(A) }[/math] ，若其不是既约的，则必然存在一对相邻字母满足 [math]\displaystyle{ a_m = a_{m+1}^{-1} \lor a_m^{-1} = a_{m+1} }[/math] ，此时将其映射到 [math]\displaystyle{ a_1 a_2 \cdots a_{m-1} a_{m+2} \cdots a_n }[/math] （即将 [math]\displaystyle{ a_m a_{m+1} }[/math] 删去）。这一映射前后字的长度减少 2 ，因此将这一映射迭代至多 [math]\displaystyle{ \lfloor\tfrac{n}2\rfloor }[/math] 次必然得到一个既约字。这一一元运算的迭代定义为一元运算简化/归约(reduction) [math]\displaystyle{ R:W(A)\to F(A) }[/math] 。
定义二元运算，将任意字 [math]\displaystyle{ w_1, w_2 \in F(A) }[/math] 映射到 [math]\displaystyle{ R(w_1 w_2) \in W(A) }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ w_1 w_2 }[/math] 是 [math]\displaystyle{ W(A) }[/math] 上的连接。这一二元运算定义为 [math]\displaystyle{ F(A) }[/math] 上的连接(concatenation)。
则可以证明 [math]\displaystyle{ F(A) }[/math] 关于 [math]\displaystyle{ F(A) }[/math] 上的连接构成一个群。 且此时可证明其由 [math]\displaystyle{ A }[/math] 生成，且 [math]\displaystyle{ A }[/math] 是一个自由生成元集，即不能由这个集合中的元素运算出运算的幺元，即空字。 这样构造出来的群满足以上始对象的要求。
相关定义
集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 称为自由群 [math]\displaystyle{ F(A) }[/math] 的一组基/基底(base)，其元素称为自由群的生成元(generator)，这组基底的势即生成元的个数称为自由群的秩(rank)。
如果一个群可以看作由其中一部分元素生成，称这个群是自由的(free)。
性质
自由群的基底间没有运算关系，若存在运算关系，会使得运算得到的部分元素相同，也就是引入了某种等价关系。因此对任意群生成的群，都可以看作自由群商掉某个子群后的结果。进一步地，考虑群的结构，群本身也能看成是某个自由群的某个商群。
自由群是始对象使其具有泛性质：任何群上的同态都能分解成两步，首先从定义域到其生成的自由群，然后从这个自由群到陪域。若存在运算关系，第二步也可以说是其自由群商群到陪域。
集合是空集时，其自由群是平凡群，只含有空字。 集合是单元素集时，得到的群同构于整数加群。 其他情况，即秩大于 1 的情况，其自由群不是交换群。
秩相等的自由群同构。或者说对同一个基数，在同构意义下只有唯一一个秩为该基数的自由群。