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[[分类:群作用理论]]
{{InfoBox
|name=自由
|eng_name=free
}}
'''自由'''('''free''')指一个[[群作用]]中，[[幺元]]以外元素对应的[[置换]]，都保证集合中每个元素与自己的像不同。

群作用中幺元的置换是[[恒等映射|恒等变换]]，把所有元素固定在原位的基础上。在此基础上，一个自由的群作用中，'''只有'''幺元能让'''任意一个'''元素保留在原位上。也可以表述为除幺元外所有元素对应的不动点都是空集。

== 定义 ==

对群 <math>G</math> 在集合 <math>X</math> 上的作用，若对应的 <math>\sigma: G \to S_X</math> 满足 <math>(\forall g \in G)(g \neq e_G \rightarrow (\forall x \in X)(\sigma(g)(x) \neq x))</math> ，即 <math>(\exists x \in X (\sigma(g)(x) = x)) \rightarrow g = e_G</math>，称群作用 <math>\sigma</math> 是'''自由的'''('''free''')。

也表述为记群中元素 <math>g</math> 对应的不动点集 <math>X^g = \{x\in G\mid g\cdot x = x\}</math> ，则有

<math>X^g = \begin{cases}
\varnothing &, g \neq e_G \\
X &, g = e_G \\
\end{cases}
</math>


{{群论}}