自由（群作用）
| 自由 | |
|---|---|
| 术语名称 | 自由 |
| 英语名称 | free |
自由(free)指一个群作用中，幺元以外元素对应的置换，都保证集合中每个元素与自己的像不同。
群作用中幺元的置换是恒等变换，把所有元素固定在原位的基础上。在此基础上，一个自由的群作用中，只有幺元能让任意一个元素保留在原位上。也可以表述为除幺元外所有元素对应的不动点都是空集。
定义
对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 在集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的作用，若对应的 [math]\displaystyle{ \sigma: G \to S_X }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ (\forall g \in G)(g \neq e_G \rightarrow (\forall x \in X)(\sigma(g)(x) \neq x)) }[/math] ，即 [math]\displaystyle{ (\exists x \in X (\sigma(g)(x) = x)) \rightarrow g = e_G }[/math]，称群作用 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 是自由的(free)。
也表述为记群中元素 [math]\displaystyle{ g }[/math] 对应的不动点集 [math]\displaystyle{ X^g = \{x\in G\mid g\cdot x = x\} }[/math] ，则有
[math]\displaystyle{ X^g = \begin{cases} \varnothing &, g \neq e_G \\ X &, g = e_G \\ \end{cases} }[/math]