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[[分类:序理论]]{{DEFAULTSORT:liang2xu4}}
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|keywords=良序, 良序集
|description=本文介绍良序关系的定义、性质和应用，包括良序作为良基全序的特征、良序集的基本性质，以及在集合论和数学基础中的核心作用。
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|published_time=2024-02-28
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{{InfoBox
|name=良序
|eng_name=well-order
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|name=良序集
|eng_name=well-ordered set
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'''良序'''('''well order''')，指[[集合]]上的一个二元[[关系]]，是[[良基关系|良基]]的[[全序]]。
元素间存在良序关系的[[集合]]称为'''良序集'''('''well-ordered set''')。

== 定义 ==

对集合 <math>P</math> 上的二元关系 <math>\leq</math> ，如果是一个全序、且有良基性，即满足：
* 自反性： <math>\forall a \in P (a \leq a)</math>
* 传递性： <math>\forall a \forall b \forall c (a \leq b \land b \leq c \rightarrow a \leq c)</math>
* 反对称性： <math>\forall a \forall b (a \leq b \land b \leq a \rightarrow a = b)</math>
* 完全性： <math>\forall a \forall b (a \leq b \lor b \leq a)</math>
* 良基性： <math>\forall U \subseteq P (\exists a \in U)(\forall u \in U)(u \neq a \rightarrow \lnot(u \leq a))</math>
称关系 <math>\leq</math> 为一个'''良序'''('''well-order''')。
并称带有良序关系 <math>\leq</math> 的集合 <math>P</math> 为'''良序集'''('''well-ordered set''')。

注：全序集上存在时极小元就是最小元，因此全序集上的良基性也被表达为 <math>\forall U \subseteq P (\exists a \in U)(\forall u \in U)(a \leq u))</math> 。

== 性质 ==

* 基本特征
** 良序是自反、反对称、传递、完全且良基的二元关系；
** 良序集的每个非空子集都有唯一最小元；
** 良序关系不允许无穷下降链。
* 序结构性质
** 良序集的每个子集也是良序集（继承序关系）。
* 运算性质
** 良序的[[交（关系）|交]]'''不一定'''是良序；
** 良序的[[并（关系）|并]]'''不一定'''是良序；
* 良序集中的特殊元素
** 全序集中[[极大元、极小元]]和[[最大元、最小元]]等价。
** 良序集中最小元总是存在且唯一；最大元不一定存在，若存在也唯一。
** 每个元素（除了最大元，如果存在）都有唯一后继元，也是大于该元素的全部元素构成的子集中的最小元。

=== 关联 ===

* 良序是良基的全序。
** 有限全序集都是良序集。


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{{二元关系复合类型}}