良序

良序
术语名称	良序
英语名称	well-order
别名	well order

良序集
术语名称	良序集
英语名称	well-ordered set

良序(total order)，指集合上的一个二元关系，是良基的全序。元素间存在良序关系的集合称为良序集(well-ordered set)。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \leq }[/math] ，如果是一个全序、且有良基性，即满足：

自反性： [math]\displaystyle{ \forall a \in P (a \leq a) }[/math]
传递性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a \leq b \land b \leq c \rightarrow a \leq c) }[/math]
反对称性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \leq b \land b \leq a \rightarrow a = b) }[/math]
完全性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \leq b \lor b \leq a) }[/math]
良基性： [math]\displaystyle{ \forall U \subseteq P (\exists a \in U)(\forall u \in U)(a \leq u) }[/math]

称关系 [math]\displaystyle{ \leq }[/math] 为一个良序(well-order)。并称带有良序关系 [math]\displaystyle{ \leq }[/math] 的集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为良序集(well-ordered set)。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
运算	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{\|\bullet} }[/math]

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全