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[[分类:范畴]]
{{InfoBox
|name=范畴
|eng_name=category
}}
{{InfoBox
|name=态射
|eng_name=morphism
|aliases=箭头,arrow
}}
{{InfoBox
|name=合成法则
|eng_name=composition law
}}
'''范畴'''('''category''')是指具有可复合箭头的数学结构。
在[[:分类:范畴论|范畴论]]中，集合或其他被研究的东西的全体视作一个对象，这个对象本身的结构被抽象掉，讨论中只剩下这些研究对象间的可复合箭头。

== 定义 ==

'''范畴'''('''category''') <math>\mathscr{C}</math> 具有以下结构：
* 一个由'''对象'''('''object''')组成的'''[[类]]'''('''class''') <math>\mathrm{Obj}(\mathscr{C})</math> ，称为范畴的'''对象类'''('''object class''')；
* 对对象的任意有序对 <math>(A, B)</math> ，都有一个'''态射集'''('''hom-set''') <math>\mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A, B)</math> ，其中的元素称为范畴的'''态射'''('''morphism''')或'''箭头'''('''arrow''')。

{{InfoBox
|name=单位态射
|eng_name=identity morphism
}}
且合成法则满足以下公理：

* 对任意对象 <math>A,B,C</math> 有态射集合间的运算 <math>\mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A, B) \times \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (B, C) \to \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A, C)</math> ，称为态射间的'''复合法则'''/'''合成法则'''('''composition law''')。法则把 <math>f \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A,B), g \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} 
(B,C)</math> 映射到 <math>gf \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A,C)</math> 。
* 不同对象对的态射集合'''[[不相交]]'''。即对对象 <math>A,B,C,D</math> ，若非 <math>A=C, B=D</math> 对应相等，必有 <math>\mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A,B) \cap \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (C,D) \neq \varnothing</math> 。
* 态射的复合具有'''[[结合性]]'''。即对对象 <math>A,B,C,D</math> ，若 <math>f \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A,B), g \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (B,C), h \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (C,D)</math> 则有 <math>(hg)f = h(gf)</math> 。
* 对于每个对象 <math>A</math> 与自身构成的对象对 <math>(A, A)</math> ，其上存在复合运算的'''[[单位元]]'''（至少一个），称为'''单位态射'''(identity morphism)，记作 <math>1_A</math> 。对任意 <math>f \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A,B), g \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (C,A)</math> 都有 <math>f 1_A = f, 1_A g = g</math> 。

{{InfoBox
|name=自同态
|eng_name=endomorphism
}}
特别地，对于两个对象相同的态射，称为'''自同态'''('''endomorphism''')。其集合 <math>\mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A,A)</math> 记为 <math>\mathrm{End}_\mathscr{C} (A)</math>。

在上下文不必说明具体范畴时，下标 <math>\mathscr{C}</math> 可以省略。
对 <math>f\in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A, B)</math> ，可以直接使用函数箭头形式 <math>f:A\to B</math> 来代表，也可以直接使用交换图。

对象类也有人用 <math>\mathrm{ob}(\mathscr{C})</math> 标记。复合也经常按照映射的复合写成 <math>g\circ f</math> 。

<blockquote>
* 对 <math>(f,g)</math> 的复合运算记号通常使用 <math>gf</math> ，与函数的合成的常见记法保持同一顺序，但也有人记作 <math>fg</math> ；
* 有的定义中不要求态射构成集合。
</blockquote>

=== 分类===

* 态射是集合的称为'''局部小范畴'''('''locally small category''')；
* 对象类是集合的称为'''小范畴'''('''small category''')。

== 举例 ==

=== 集合范畴 ===

若对象类是全部的集合构成的类，即每个对象都是集合，则态射集合是集合间[[映射的集合]]。即[[集合范畴]]。
其中，
* 对象类 <math>\mathrm{Obj}(\mathbf{Set})</math> 是全体集合构成的[[真类]]；
* 对任意两个对象，也就是集合 <math>A, B</math> ，对象间的态射集合 <math>\mathrm{Hom}_\mathbf{Set} (A,B)</math> 是集合 <math>A, B</math> 间全体映射的集合 <math>B^A</math> ；
* 合成法则是映射的[[复合（映射）|复合]] <math>\circ</math> 。有结合性且有[[恒等映射]]作为单位态射。

=== 预序集上的范畴 ===

若有一个[[预序|预序集]] <math>S</math> 上的有预序关系 <math>\sim</math> ，这个关系是自反且传递的，则内部的全部元素构成的集合 <math>S</math> 作为对象类，按元素是否有关系建立也可以建立范畴。有人将其称为[[序范畴]]。其中，
* 对象类 <math>S</math> ；
* 任意两个对象 <math>a,b</math> ，对象间的态射集合 <math>\mathrm{Hom}_\mathscr{C} (a, b) = \begin{cases} \{(a,b)\} &, a\sim b \\ \varnothing &, a\not\sim b \end{cases}</math> 是单点集或空集；
* 合成法则是若为 <math>\{(a,b)\},\{(b,c)\}</math> 则得到 <math>\{(a,c)\}</math> ，若不具有此形式或一方为空则也得到空集。可证明其良定义（[[传递关系|传递性]]保证），且满足结合性，单位态射是元素和自身的有序对（[[自反关系|自反性]]）。

由于[[等价关系]]和[[偏序关系]]都是预序关系，代入这些关系后也构成范畴。

由于[[恒等关系]]本身也是等价关系，所以恒等关系对应的也是范畴，称为[[离散范畴]]。

=== 切片范畴 ===

可以从一个范畴的局部抽象出另一个范畴，典型的是[[切片范畴]]和[[余切片范畴]]。


{{范畴论}}