范畴

范畴
术语名称	范畴
英语名称	category

态射
术语名称	态射
英语名称	morphism
别名	箭头, arrow

合成法则
术语名称	合成法则
英语名称	composition law

范畴(category)是指具有可复合箭头的数学结构。在范畴论中，集合或其他被研究的东西的全体视作一个对象，这个对象本身的结构被抽象掉，讨论中只剩下这些研究对象间的可复合箭头。

定义

范畴(category) [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 具有以下结构：

一个由对象(object)组成的类(class) [math]\displaystyle{ \mathrm{Obj}(\mathscr{C}) }[/math] ，称为范畴的对象类(object class)；
对对象的任意有序对 [math]\displaystyle{ (A, B) }[/math] ，都有一个态射集(hom-set) [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A, B) }[/math] ，其中的元素称为范畴的态射(morphism)或箭头(arrow)。

单位态射
术语名称	单位态射
英语名称	identity morphism

且合成法则满足以下公理：

对任意对象 [math]\displaystyle{ A,B,C }[/math] 有态射集合间的运算 [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A, B) \times \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (B, C) \to \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A, C) }[/math] ，称为态射间的复合法则/合成法则(composition law)。法则把 [math]\displaystyle{ f \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A,B), g \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (B,C) }[/math] 映射到 [math]\displaystyle{ gf \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A,C) }[/math] 。
不同对象对的态射集合不相交。即对对象 [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math] ，若非 [math]\displaystyle{ A=C, B=D }[/math] 对应相等，必有 [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A,B) \cap \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (C,D) \neq \varnothing }[/math] 。
态射的复合具有结合性。即对对象 [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ f \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A,B), g \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (B,C), h \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (C,D) }[/math] 则有 [math]\displaystyle{ (hg)f = h(gf) }[/math] 。
对于每个对象 [math]\displaystyle{ A }[/math] 与自身构成的对象对 [math]\displaystyle{ (A, A) }[/math] ，其上存在复合运算的单位元（至少一个），称为单位态射(identity morphism)，记作 [math]\displaystyle{ 1_A }[/math] 。对任意 [math]\displaystyle{ f \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A,B), g \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (C,A) }[/math] 都有 [math]\displaystyle{ f 1_A = f, 1_A g = g }[/math] 。

自同态
术语名称	自同态
英语名称	endomorphism

特别地，对于两个对象相同的态射，称为自同态(endomorphism)。其集合 [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A,A) }[/math] 记为 [math]\displaystyle{ \mathrm{End}_\mathscr{C} (A) }[/math]。

在上下文不必说明具体范畴时，下标 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 可以省略。对 [math]\displaystyle{ f\in \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (A, B) }[/math] ，可以直接使用函数箭头形式 [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] 来代表，也可以直接使用交换图。

对象类也有人用 [math]\displaystyle{ \mathrm{ob}(\mathscr{C}) }[/math] 标记。复合也经常按照映射的复合写成 [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math] 。

对 [math]\displaystyle{ (f,g) }[/math] 的复合运算记号通常使用 [math]\displaystyle{ gf }[/math] ，与函数的合成的常见记法保持同一顺序，但也有人记作 [math]\displaystyle{ fg }[/math] ；

有的定义中不要求态射构成集合。

分类

态射是集合的称为局部小范畴(locally small category)；
对象类是集合的称为小范畴(small category)。

举例

集合范畴

若对象类是全部的集合构成的类，即每个对象都是集合，则态射集合是集合间映射的集合。即集合范畴。其中，

对象类 [math]\displaystyle{ \mathrm{Obj}(\mathbf{Set}) }[/math] 是全体集合构成的真类；
对任意两个对象，也就是集合 [math]\displaystyle{ A, B }[/math] ，对象间的态射集合 [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_\mathbf{Set} (A,B) }[/math] 是集合 [math]\displaystyle{ A, B }[/math] 间全体映射的集合 [math]\displaystyle{ B^A }[/math] ；
合成法则是映射的复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math] 。有结合性且有恒等映射作为单位态射。

预序集上的范畴

若有一个预序集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 上的有预序关系 [math]\displaystyle{ \sim }[/math] ，这个关系是自反且传递的，则内部的全部元素构成的集合 [math]\displaystyle{ S }[/math] 作为对象类，按元素是否有关系建立也可以建立范畴。有人将其称为序范畴。其中，

对象类 [math]\displaystyle{ S }[/math] ；
任意两个对象 [math]\displaystyle{ a,b }[/math] ，对象间的态射集合 [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_\mathscr{C} (a, b) = \begin{cases} \{(a,b)\} &, a\sim b \\ \varnothing &, a\not\sim b \end{cases} }[/math] 是单点集或空集；
合成法则是若为 [math]\displaystyle{ \{(a,b)\},\{(b,c)\} }[/math] 则得到 [math]\displaystyle{ \{(a,c)\} }[/math] ，若不具有此形式或一方为空则也得到空集。可证明其良定义（传递性保证），且满足结合性，单位态射是元素和自身的有序对（自反性）。

由于等价关系和偏序关系都是预序关系，代入这些关系后也构成范畴。

由于恒等关系本身也是等价关系，所以恒等关系对应的也是范畴，称为离散范畴。

切片范畴

可以从一个范畴的局部抽象出另一个范畴，典型的是切片范畴和余切片范畴。

范畴、态射
基本概念	范畴	态射、交换图
态射	单态射、满态射	双态射
态射	分裂单态射、分裂满态射（收缩、截面）	同构
泛在结构、泛性质
终端对象	始对象、终对象	零对象、零态射
泛在结构	切片范畴、余切片范畴	-
	楔、余楔·楔范畴、余楔范畴	积、余积
	锥、余锥·锥范畴、余锥范畴	极限、余极限
	-	等化子、余等化子
	-	核、余核