查看“︁补集”︁的源代码

[[分类:集合]]{{DEFAULTSORT:bu3ji2}}
{{#seo:
|keywords=补集, 绝对补集
|description=本文介绍补集（绝对补集）的数学定义、符号表示、基本性质及其在布尔代数中的运算规则，包括德摩根律等重要定律。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2023-4-9
}}
{{InfoBox
|name=补集
|eng_name=complement
|aliases=补,绝对补集,absolute complement
}}
'''补集'''('''complement''')是对一个[[集合]]，由给定或语境默认的[[全集]]中所有[[成员关系|不属于]]这个集合的元素所构成的新集合。

== 定义 ==

{{Operation
|name=补集
|symbol=<math>^\complement</math>,<math>^c</math>
|latex=^\complement,^c
|operand=集合
|result=集合
|prototype=布尔代数
}}
选定全集 <math>U</math> ，对其子集 <math>A</math> ，由所有属于全集 <math>U</math> 但不属于子集 <math>A</math> 的元素所构成的集合，叫做子集 <math>A</math> 的'''补集'''('''complement''')或'''绝对补集'''('''absolute complement''')，简称'''补'''，记作 <math>A^\complement</math>。即： <math>A^\complement = \left\{ x \in U \mid x \notin A \right\}</math>。

{{GiteaSvg|venn_graph/compl}}

{{CharMetaInfo
|char=&#x2201;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+2201|Complement}}
|latex=\complement
}}

补集有时也会记作 <math>A^c</math> 、 <math>\bar{A}</math> 、 <math>A'</math> 、 <math>\complement_U A</math> 、 <math>\complement A</math> 。

注：
* 对任意集合，其补集的补集仍是其原集合，因此称两个集合'''互为补集'''或'''互补'''。
* '''绝对'''补集区分于'''相对'''补集（即[[差集]]），是针对全集的相对补集。

== 性质 ==

* 由定义，如果 <math>x \in A</math> ，那么 <math>x \notin A^\complement</math>。
* <math>A\subseteq B \rightarrow A^\complement \supseteq B^\complement<math>
** <math>A\subset B \rightarrow A^\complement \supset B^\complement</math>
* 作为[[布尔代数]]的运算，满足以下性质：
** 对于任意子集 <math>A</math>，有 <math>A \cup A^\complement = U</math>。
** 对于任意子集 <math>A</math>，有 <math>A \cap A^\complement = \varnothing</math>。
** 特殊值：[[空集]]的补集是[[全集]]： <math>\varnothing^\complement = U</math> ，全集的补集是空集： <math>U^\complement = \varnothing</math> 。
** [[双重否定律]]（[[对合性]]）：对于任意子集 <math>A</math>，有 <math>(A^\complement)^\complement = A</math>。
** [[德·摩根律]]：对于任意子集 <math>A</math> 和 <math>B</math>，有 <math>(A \cap B)^\complement = A^\complement \cup B^\complement</math>、<math>(A \cup B)^\complement = A^\complement \cap B^\complement</math>。


{{集合}}