补集
| 补集 | |
|---|---|
| 术语名称 | 补集 |
| 英语名称 | complement |
| 别名 | 补, 绝对补集, absolute complement |
补集(complement)是对一个集合，由给定或语境默认的全集中所有不属于这个集合的元素所构成的新集合。
定义
| 补集 | |
|---|---|
| 运算名称 | 补集 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ ^\complement }[/math],[math]\displaystyle{ ^c }[/math] |
| Latex | ^\complement, ^c
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| 运算对象 | 集合 |
| 运算元数 | 2 |
| 运算结果 | 集合 |
| 结构 | 布尔代数
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选定全集 [math]\displaystyle{ U }[/math] ，对其子集 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，由所有属于全集 [math]\displaystyle{ U }[/math] 但不属于子集 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的元素所构成的集合，叫做子集 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的补集(complement)或绝对补集(absolute complement)，简称补，记作 [math]\displaystyle{ A^\complement }[/math]。即： [math]\displaystyle{ A^\complement = \left\{ x \in U \mid x \notin A \right\} }[/math]。
| ∁ | |
|---|---|
| 字符 | ∁ |
| Unicode码位 | U+2201 Complement
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| Latex命令序列 | \complement
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补集有时也会记作 [math]\displaystyle{ A^c }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \bar{A} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ A' }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \complement_U A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \complement A }[/math] 。
注：
- 对任意集合，其补集的补集仍是其原集合，因此称两个集合互为补集或互补。
- 绝对补集区分于相对补集（即差集），是针对全集的相对补集。
性质
- 由定义，如果 [math]\displaystyle{ x \in A }[/math] ，那么 [math]\displaystyle{ x \notin A^\complement }[/math]。
- [math]\displaystyle{ A\subseteq B \rightarrow A^\complement \supseteq B^\complement\lt math\gt ** \lt math\gt A\subset B \rightarrow A^\complement \supset B^\complement }[/math]
- 作为布尔代数的运算，满足以下性质：
- 对于任意子集 [math]\displaystyle{ A }[/math]，有 [math]\displaystyle{ A \cup A^\complement = U }[/math]。
- 对于任意子集 [math]\displaystyle{ A }[/math]，有 [math]\displaystyle{ A \cap A^\complement = \varnothing }[/math]。
- 特殊值：空集的补集是全集： [math]\displaystyle{ \varnothing^\complement = U }[/math] ，全集的补集是空集： [math]\displaystyle{ U^\complement = \varnothing }[/math] 。
- 双重否定律（对合性）：对于任意子集 [math]\displaystyle{ A }[/math]，有 [math]\displaystyle{ (A^\complement)^\complement = A }[/math]。
- 德·摩根律：对于任意子集 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math]，有 [math]\displaystyle{ (A \cap B)^\complement = A^\complement \cup B^\complement }[/math]、[math]\displaystyle{ (A \cup B)^\complement = A^\complement \cap B^\complement }[/math]。