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[[分类:关系]]{{DEFAULTSORT:bu3}}
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|keywords=补, 补关系, 关系的补
|description=本文介绍补关系的数学定义、基本性质和多元关系上的补集形式，涵盖关系运算中的核心概念。
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|published_time=2023-04-15
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{{InfoBox
|name=补关系
|eng_name=complementary relation
|aliases=补,complement
}}
'''补关系'''('''complementary relation''')指一个[[关系]]作为子集的[[补集]]，也是“不符合这个关系”构成的新的关系，简称'''补'''。

== 定义 ==

=== 二元关系的补 ===
{{Operation
|name=补关系
|symbol=<math>\lnot</math>,<math>\bar{\bullet}</math>
|latex=\lnot,\bar{}
|operand=关系
|operand_num=1
|result=关系
|prototype=布尔代数
|domain=<math>\mathcal{P}(X \times Y)</math>
|codomain=<math>\mathcal{P}(X \times Y)</math>
}}
对集合 <math>X</math> 、 <math>Y</math> 上的关系 <math>R</math> ，记补集 <math>\lnot R = \left\{ (x, y)\in X\times Y \mid (x, y) \notin R \right\} = \left\{ (x, y) \mid x\in X \land y\in Y \land x \lnot R y \right\}</math> ，称为 <math>R</math> 的'''补关系'''('''complementary relation''')，简称'''补'''('''complement''')，也记作 <math>\bar{R}</math> 。

{{GiteaSvg|venn_graph/compl}}

=== 多元关系的补 ===
对集合 <math>A_1, \cdots, A_n</math> 上的多元关系 <math>R</math> ，将 <math>R</math> 在 <math>A_1 \times \cdots \times A_n</math> 中的补集定义为这一关系的补关系。

== 性质 ==

* 补关系是关系补集运算的结果，满足补集的所有性质。见[[补集#性质|集合补集的性质]]。
* 一个关系的补的关系矩阵与这个关系矩阵之间的关系，相当于逐元素取[[逻辑非]]。


{{关系}}