补（关系）

补关系
术语名称	补关系
英语名称	complementary relation
别名	补, complement

补关系(complementary relation)指一个关系作为子集的补集，也是“不符合这个关系”构成的新的关系，简称补。

定义

二元关系的补

补
运算名称	补
运算符号	[math]\displaystyle{ \lnot }[/math],[math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]
Latex	\lnot , \bar{}
运算对象	关系
运算元数	2
运算结果	关系
结构	布尔代数
定义域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X \times Y) }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X \times Y) }[/math]

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 上的关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，记补集 [math]\displaystyle{ \lnot R = \left\{ (x, y)\in X\times Y \mid (x, y) \notin R \right\} = \left\{ (x, y) \mid x\in X \land y\in Y \land \lnot(x R y) \right\} }[/math] ，称为 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的补关系(complementary relation)，简称补(complement)，也记作 [math]\displaystyle{ \bar{R} }[/math] 。

多元关系的补

对集合 [math]\displaystyle{ A_1, \cdots, A_n }[/math] 上的多元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ， [math]\displaystyle{ R }[/math] 在 [math]\displaystyle{ A_1 \times \cdots \times A_n }[/math] 中的补集为这一关系的补关系。

性质

• 补关系是关系补集运算的结果，满足补集的所有性质。见集合补集的性质。
• 一个关系的补的关系矩阵与这个关系矩阵之间的关系，相当于逐元素取逻辑非。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]