查看“︁超运算”︁的源代码

[[分类:数的运算]]
{{InfoBox
|name=超运算
|eng_name=hyperoperation
}}
{{InfoBox
|name=超运算列
|eng_name=hyperoperation sequence
}}
'''超运算列'''('''hyperoperation sequence''')指一个[[运算]][[序列|列]]，从[[后继]]或[[加法]]开始，通过重复运算并简写重复次数得到下一个新的运算。序列中的每个对象叫'''超运算'''('''hyperoperation''')，第 <math>n</math> 个对象叫'''超- <math>n</math> 运算'''('''<math>n</math>-ation''')。

这个序列从1号元素开始的前几个分别是[[加法]]、[[乘法]]、[[乘方]]。

== 定义 ==

'''超运算列'''('''hyperoperation sequence''')是运算 <math>H_n:\mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}</math> 构成的序列，其中每个 <math>H_n</math> 满足：

<math>
H_n(a,b) = \begin{cases}
b+1 &, n=0 \\
H_{n-1} (a, H_n (a, b-1)) &, n\geq 1, b\geq 1 \\
a &, n=1, b=0 \\
0 &, n=2, b=0 \\
1 &, n\geq3, b=0
\end{cases}
</math>

其中称 <math>a</math> 为超运算的'''底数'''('''base''')， <math>b</math> 为超运算的'''指数'''('''exponent''')或'''超指数'''('''hyperexponent''')， <math>n</math> 为超运算的'''级别'''('''rank'''/'''grade''') ，运算 <math>H_n(a,b)</math> 称为 '''<math>a</math> 的 <math>b</math> 次超- <math>n</math> 运算'''('''the <math>b</math>th <math>n</math>-ation of <math>a</math>''')。

注： <math>n\geq 1, b\geq 1</math> 时上述递推也可展开为 <math>H_n(a,b) = \underbrace{ {\color{blue} H_{n-1}(a, }{\color{green} H_{n-1}(a, } {\color{yellowgreen} \dots } {\color{orange} H_{n-1}(a, } {\color{red} a} {\color{orange} ) } {\color{yellowgreen} \dots } {\color{green} ) } {\color{blue} ) }}_{b \text{ occurrences of } a}</math> 。

注：对较小的'''超- <math>n</math> 运算'''('''<math>n</math>-ation''')，使用希腊数字前缀加“-ation”构成名称。

== 记号 ==

=== 方括号记号 ===

可以用 <math>a [n] b</math> 表示相关运算。称为方括号记号(square bracket notation)。

=== Knuth 箭头 ===

对 <math>n\geq 3</math> 的情况，也可以用 <math>a \uparrow\uparrow\dots\uparrow b</math> 表示相关运算，其中箭头的数目为 <math>(n-2)</math> 个。同时对较靠前的运算就正常使用加法和乘法表示。这一记号称为'''<ins>高德纳</ins>箭头'''('''Knuth's up-arrow notation''')。

{{超运算}}