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[[分类:群作用理论]]
{{InfoBox
|name=轨道
|eng_name=orbit
}}
'''轨道'''('''orbit''')指[[群作用]]对[[集合]]进行变换时，某一元素在[[群]]中任一元素作用下的全部可能结果所构成的集合。
这个集合既是所有从这个元素所有可能变换到的下一元素，也是所有可能变换到这个元素的全部上一元素的集合。

== 定义 ==

对群 <math>G</math> 在集合 <math>X</math> 上的作用 <math>\alpha</math> ，以及集合中元素 <math>x\in X</math> ，记 <math>\{\alpha(g, x) \mid g \in G\}</math> ，称为群作用 <math>\alpha</math> 下元素 <math>x</math> 的'''轨道'''('''orbit''' of <math>x</math> under <math>\alpha</math> )，记作 <math>O_G(x)</math> ，也有人记作 <math>\mathrm{Ob}_G(x)</math> 、 <math>G \cdot x</math> <ref>与 <math>\cdot</math> 表示群运算时经常省略不同，这个记号一般不会省略表示群作用的运算符。</ref>等。

特别地，由于群作用要求 <math>e_G \cdot x = x</math> ，若 <math>O_G(x)=\{x\}</math> ，称这个轨道是'''平凡'''('''trivial''')的。

== 性质 ==

[[传递（群作用）|传递]]的群作用下任意元素的轨道都是整个集合。

由于 <math>\{\alpha(g, x) \mid g \in G\}=\{\alpha(g^{-1}, x) \mid g \in G\}</math> ，这个集合即使作用后可能的下个位置也是作用前可能的上个位置。


{{群论}}