轨道

轨道
术语名称	轨道
英语名称	orbit

轨道(orbit)指群作用对集合进行变换时，某一元素在群中任一元素作用下的全部可能结果所构成的集合。 这个集合既是所有从这个元素所有可能变换到的下一元素，也是所有可能变换到这个元素的全部上一元素的集合。

定义

对群 [math]\displaystyle{ G }[/math] 在集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的作用 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] ，以及集合中元素 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] ，记 [math]\displaystyle{ \{\alpha(g, x) \mid g \in G\} }[/math] ，称为群作用 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] 下元素 [math]\displaystyle{ x }[/math] 的轨道(orbit of [math]\displaystyle{ x }[/math] under [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] )，记作 [math]\displaystyle{ O_G(x) }[/math] ，也有人记作 [math]\displaystyle{ \mathrm{Ob}_G(x) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ G \cdot x }[/math] 等。

特别地，由于群作用要求 [math]\displaystyle{ e_G \cdot x = x }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ O_G(x)=\{x\} }[/math] ，称这个轨道是平凡(trivial)的。

性质

传递的群作用下任意元素的轨道都是整个集合。

由于 [math]\displaystyle{ \{\alpha(g, x) \mid g \in G\}=\{\alpha(g^{-1}, x) \mid g \in G\} }[/math] ，这个集合即使作用后可能的下个位置也是作用前可能的上个位置。

基础群论初步
群、群公理	交换群、交换群公理	重排定理
子群 [math]\displaystyle{ \leq }[/math]	陪集、陪集定理	Lagrange 定理
正规子群、不变子群 [math]\displaystyle{ \unlhd }[/math]	共轭、共轭关系、共轭类
	同余关系、同余类	商群
同态与同构
同态	同态核、同态像
单同态、满同态	同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math]
第一同构定理	第二同构定理	第三同构定理
群作用与变换群
群作用	左乘作用、共轭作用
忠实、自由		Cayley 定理
轨道	稳定子群	轨道-稳定子群定理
不动点		Burnside 引理