查看“︁轮换”︁的源代码

[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=轮换
|eng_name=cycle
|aliases=循环
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{{InfoBox
|name=不相交
|eng_name=disjoint
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'''轮换'''('''cycle''')指[[排列]]中所有不映射到原位的元素，可以按映射前后关系首尾相接构成环。

== 定义 ==

排列
<math>\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\a_1&a_2&\cdots&a_n\end{pmatrix}</math>
将每个 <math>i\mapsto a_i</math> 。
若对 <math>i\neq a_i</math> ，记 <math>i, a_i=\sigma(i), \sigma(\sigma(i)),\cdots\</math> 。
由于排列在有限群上的双射，序列必然存在周期， <math>i</math> 在序列中会再次出现。
若对未出现在这一序列中的所有元素都有 <math>\sigma(i)=i</math> ，则称排列 <math>\sigma</math> 是一个'''轮换'''('''rotation''')，
记作 <math>(i a_i \cdots i)</math> 。

涉及 <math>k</math> 个不同元素的轮换被称为 <math>k</math>-轮换('''<math>k</math>-cycle''')。
恒等置换可以认为没有不符合轮换要求的元素，也视为一个 1-轮换，称为'''平凡轮换'''('''trivial cycle''')，记作 <math>(1)</math> 或任意的 <math>(i)</math> 。
2-轮换也称为'''[[对换]]'''('''transposition''')。

两个轮换中含有相同元素称为两个轮换'''相交'''，否则称为'''不相交'''('''disjoint''')。

== 性质 ==

轮换 <math>(a_1 a_2 \cdots a_n)</math> 与 <math>(a_i a_i+1 \cdots a_n a_1 \cdots a_{i-1})</math> 是同一轮换。也有人称为'''在轮换排列意义下'''('''up to a cyclic permutation''')相同。

任意排列总是能分解为一系列不相交轮换的复合。

不相交轮换之间的复合[[交换元|可交换]]。


{{有限群理论}}