轮换

轮换
术语名称	轮换
英语名称	cycle
别名	循环

不相交
术语名称	不相交
英语名称	disjoint

轮换(cycle)指排列中所有不映射到原位的元素，可以按映射前后关系首尾相接构成环。

定义

排列 [math]\displaystyle{ \sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\a_1&a_2&\cdots&a_n\end{pmatrix} }[/math] 将每个 [math]\displaystyle{ i\mapsto a_i }[/math] 。 若对 [math]\displaystyle{ i\neq a_i }[/math] ，记 [math]\displaystyle{ i, a_i=\sigma(i), \sigma(\sigma(i)),\cdots\ }[/math] 。 由于排列在有限群上的双射，序列必然存在周期， [math]\displaystyle{ i }[/math] 在序列中会再次出现。 若对未出现在这一序列中的所有元素都有 [math]\displaystyle{ \sigma(i)=i }[/math] ，则称排列 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 是一个轮换(rotation)， 记作 [math]\displaystyle{ (i a_i \cdots i) }[/math] 。

涉及 [math]\displaystyle{ k }[/math] 个不同元素的轮换被称为 [math]\displaystyle{ k }[/math]-轮换([math]\displaystyle{ k }[/math]-cycle)。 恒等置换可以认为没有不符合轮换要求的元素，也视为一个 1-轮换，称为平凡轮换(trivial cycle)，记作 [math]\displaystyle{ (1) }[/math] 或任意的 [math]\displaystyle{ (i) }[/math] 。 2-轮换也称为对换(transposition)。

两个轮换中含有相同元素称为两个轮换相交，否则称为不相交(disjoint)。

性质

轮换 [math]\displaystyle{ (a_1 a_2 \cdots a_n) }[/math] 与 [math]\displaystyle{ (a_i a_i+1 \cdots a_n a_1 \cdots a_{i-1}) }[/math] 是同一轮换。也有人称为在轮换排列意义下(up to a cyclic permutation)相同。

任意排列总是能分解为一系列不相交轮换的复合。

不相交轮换之间的复合可交换。

有限群理论
子群存在性
特殊阶数群	[math]\displaystyle{ p }[/math]-群			[math]\displaystyle{ pq }[/math]-群
特殊阶数子群	类方程	Cauchy 定理	Sylow 第一定理、Sylow [math]\displaystyle{ p }[/math]-子群		Sylow 第二定理	Sylow 第三定理
由单群合成
逐层构造	次正规列、正规列、因子			单群、合成列
	Zassenhaus 引理		Schreier 细化定理		Jordan–Hölder 定理
组合方式	群正合列	群直积（群内直积）、群半直积		群短正合列	群扩张
交换的对称性
交换性成分	换位子、导群		导列		可解群