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[[分类:连分数理论]]
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|name=连分数
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|name=有限连分数
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|name=部分商
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'''连分数'''('''continued fraction''')是指对一个数不断重复，将其拆成（通常是）整数和小数部分，如果有小数部分则表示为另一个数的倒数。即形如：

<math>
a_0 + \cfrac1{ a_1 + \cfrac1{ a_2 + \cfrac1{ \ddots + \cfrac1{a_n} }}}
</math>

的形式。

若其中都是整数，称为'''简单'''('''simple''')连分数。
若其中都是有理数，称为'''普通'''('''general''')连分数。

如果本来是一个普通的分数，看成带余除法，得到的就是每次的部分商和分数形式的余数，并且把最后的除数和余数作为下一轮的被除数和除数，因此可以看作与 [[Euclid 算法]]类似的过程。此外无理数也可以表示成连分数形式。

== 定义 ==

对实数列 <math>a_0, a_1, \cdots, a_n</math> ，其中 <math>a_j>0, j\geq1</math> ，将形如

<math>
a_0 + \cfrac1{ a_1 + \cfrac1{ a_2 + \cfrac1{ \ddots + \cfrac1{a_n} }}}
</math>

的表示式称为'''连分数'''('''continued fraction''')，并记作 <math>[a_0; a_1, a_2, \cdots, a_n]</math> 或  <math>[a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n]</math> 。将 <math>a_0, a_1, \cdots, a_n</math> 称为这个连分数的'''部分商'''('''partial quotients'''/'''coefficients'''/'''terms''')，其中 <math>a_k</math> 称为'''第 <math>k</math> 个部分商'''('''<math>k</math>th partial quotient'''/'''coefficient'''/'''term''')。

如果连分数的所有部分商都是整数，即 <math>a_0</math> 是任意整数， <math>a_j, j\geq1</math> 是正整数，则称这一连分数为'''简单连分数'''('''simple continued fraction''')。如果连分数的所有部分商都是有理数，或者说形如
<math>
a_0 + \cfrac{b_1}{ a_1 + \cfrac{b_2}{ a_2 + \cfrac{b_3}{ \ddots + \cfrac{b_n}{a_n} }}}
</math>
的，则称这一连分数为'''普通连分数'''('''general continued fraction''')， <math>a_i</math> 和<math>b_i</math> 称为其'''部分分母'''和'''部分分子'''。如果允许部分商取任意复数或带有自变量的函数等，称为'''广义连分数'''('''generalized continued fraction''')。

如果实数列是有限的，即形如 <math>[a_0, a_1, \cdots, a_n]</math> 的连分数，被称为'''有限连分数'''('''finite continued fraction'''/'''terminated continued fraction''')。否则，若实数列是无限的，即形如 <math>[a_0, a_1, \cdots]</math> 的连分数，被称为 '''无限连分数'''('''infinite continued fraction''')。

== 性质 ==

根据定义式，有：
* <math>[a_0, a_1, \cdots, a_k] = a_0 + \frac1{[a_1, \cdots, a_n]}</math>
* <math>[a_0, a_1, \cdots, a_k \cdots, a_n] = [a_0, a_1, \cdots, a_{k-1}, [a_k \cdots, a_n]] = \left[a_0, a_1, \cdots, a_{k-1}, a_k + \frac1{[a_{k+1}, \cdots, a_n]}\right]</math> ；

实数总是能被表示为简单连分数的形式，其中，表示形式为有限简单连分数当且仅当这个数是一个有理数，无限简单连分数当且仅当这个数是一个无理数。

有理数总是有等价表示 <math>[a_0, a_1, \cdots, a_{k-1}, a_k] = [a_0, a_1, \cdots, a_{k-1}, a_k-1, 1], k=0 \lor a_k > 1</math> 。有理数总是有这样两个等价的表示形式，且对其中任意一种形式的表示均唯一。无限连分数也有唯一的表示形式，由于其没有最后一项，没有类似有限情况下的等价形式。

对于正数，有 <math>[a_0, a_1, \cdots]>1</math> 当且仅当 <math>a_0 > 0</math> ，此时其倒数为 <math>[0, a_0, a_1, \cdots]</math> ；反过来，有 <math>0<[a_0, a_1, \cdots]<1</math> 当且仅当 <math>a_0 = 0</math> ，此时其倒数为 <math>[a_1, \cdots]</math> 。

如果考虑[[相反数]]，则有 <math>[a_0, a_1, a_2, a_3, \dots]</math> 的相反数通常是 <math>[-a_0-1, 1, a_1-1, a_2, a_3, \dots]</math> 。但考虑到系数必须是整数的问题，若其中 <math>a_1-1=0</math> 则可以把这两个连续的倒数合并得到 <math>[-a_0-1, a_2+1, a_3, \dots]</math> ，特别地，如果没有 <math>a_2</math> ，只有前一部分的 <math>[a_0, 1]=a_0 + 1</math> ，则可以直接得到 <math>[-a_0-1]</math>。


{{连分数理论}}