连分数

连分数
术语名称	连分数
英语名称	continued fraction

有限连分数
术语名称	有限连分数
英语名称	finite continued fraction
别名	terminated continued fraction

无限连分数
术语名称	无限连分数
英语名称	infinite continued fraction

简单连分数
术语名称	简单连分数
英语名称	simple continued fraction
别名	regular continued fraction

普通连分数
术语名称	普通连分数
英语名称	generalized continued fraction
别名	一般连分数

部分商
术语名称	部分商
英语名称	partial quotient
别名	coefficient, term

连分数(continued fraction)是指对一个数不断重复，将其拆成（通常是）整数和小数部分，如果有小数部分则表示为另一个数的倒数。即形如：

[math]\displaystyle{ a_0 + \cfrac1{ a_1 + \cfrac1{ a_2 + \cfrac1{ \ddots + \cfrac1{a_n} }}} }[/math]

的形式。

若其中都是整数，称为简单(simple)连分数。 若其中都是有理数，称为普通(general)连分数。

如果本来是一个普通的分数，看成带余除法，得到的就是每次的部分商和分数形式的余数，并且把最后的除数和余数作为下一轮的被除数和除数，因此可以看作与 Euclid 算法类似的过程。此外无理数也可以表示成连分数形式。

定义

对实数列 [math]\displaystyle{ a_0, a_1, \cdots, a_n }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ a_j\gt 0, j\geq1 }[/math] ，将形如

[math]\displaystyle{ a_0 + \cfrac1{ a_1 + \cfrac1{ a_2 + \cfrac1{ \ddots + \cfrac1{a_n} }}} }[/math]

的表示式称为连分数(continued fraction)，并记作 [math]\displaystyle{ [a_0; a_1, a_2, \cdots, a_n] }[/math] 或 [math]\displaystyle{ [a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n] }[/math] 。将 [math]\displaystyle{ a_0, a_1, \cdots, a_n }[/math] 称为这个连分数的部分商(partial quotients/coefficients/terms)，其中 [math]\displaystyle{ a_k }[/math] 称为第 [math]\displaystyle{ k }[/math] 个部分商([math]\displaystyle{ k }[/math]th partial quotient/coefficient/term)。

如果连分数的所有部分商都是整数，即 [math]\displaystyle{ a_0 }[/math] 是任意整数， [math]\displaystyle{ a_j, j\geq1 }[/math] 是正整数，则称这一连分数为简单连分数(simple continued fraction)。如果连分数的所有部分商都是有理数，或者说形如 [math]\displaystyle{ a_0 + \cfrac{b_1}{ a_1 + \cfrac{b_2}{ a_2 + \cfrac{b_3}{ \ddots + \cfrac{b_n}{a_n} }}} }[/math] 的，则称这一连分数为普通连分数(general continued fraction)， [math]\displaystyle{ a_i }[/math] 和[math]\displaystyle{ b_i }[/math] 称为其部分分母和部分分子。如果允许部分商取任意复数或带有自变量的函数等，称为广义连分数(generalized continued fraction)。

如果实数列是有限的，即形如 [math]\displaystyle{ [a_0, a_1, \cdots, a_n] }[/math] 的连分数，被称为有限连分数(finite continued fraction/terminated continued fraction)。否则，若实数列是无限的，即形如 [math]\displaystyle{ [a_0, a_1, \cdots] }[/math] 的连分数，被称为 无限连分数(infinite continued fraction)。

性质

根据定义式，有：

• [math]\displaystyle{ [a_0, a_1, \cdots, a_k] = a_0 + \frac1{[a_1, \cdots, a_n]} }[/math]
• [math]\displaystyle{ [a_0, a_1, \cdots, a_k \cdots, a_n] = [a_0, a_1, \cdots, a_{k-1}, [a_k \cdots, a_n]] = \left[a_0, a_1, \cdots, a_{k-1}, a_k + \frac1{[a_{k+1}, \cdots, a_n]}\right] }[/math] ；

实数总是能被表示为简单连分数的形式，其中，表示形式为有限简单连分数当且仅当这个数是一个有理数，无限简单连分数当且仅当这个数是一个无理数。

有理数总是有等价表示 [math]\displaystyle{ [a_0, a_1, \cdots, a_{k-1}, a_k] = [a_0, a_1, \cdots, a_{k-1}, a_k-1, 1], k=0 \lor a_k \gt 1 }[/math] 。有理数总是有这样两个等价的表示形式，且对其中任意一种形式的表示均唯一。无限连分数也有唯一的表示形式，由于其没有最后一项，没有类似有限情况下的等价形式。

对于正数，有 [math]\displaystyle{ [a_0, a_1, \cdots]\gt 1 }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ a_0 \gt 0 }[/math] ，此时其倒数为 [math]\displaystyle{ [0, a_0, a_1, \cdots] }[/math] ；反过来，有 [math]\displaystyle{ 0\lt [a_0, a_1, \cdots]\lt 1 }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ a_0 = 0 }[/math] ，此时其倒数为 [math]\displaystyle{ [a_1, \cdots] }[/math] 。

如果考虑相反数，则有 [math]\displaystyle{ [a_0, a_1, a_2, a_3, \dots] }[/math] 的相反数通常是 [math]\displaystyle{ [-a_0-1, 1, a_1-1, a_2, a_3, \dots] }[/math] 。但考虑到系数必须是整数的问题，若其中 [math]\displaystyle{ a_1-1=0 }[/math] 则可以把这两个连续的倒数合并得到 [math]\displaystyle{ [-a_0-1, a_2+1, a_3, \dots] }[/math] ，特别地，如果没有 [math]\displaystyle{ a_2 }[/math] ，只有前一部分的 [math]\displaystyle{ [a_0, 1]=a_0 + 1 }[/math] ，则可以直接得到 [math]\displaystyle{ [-a_0-1] }[/math]。

连分数
基本定义	连分数（简单、普通、广义；有限、无限）	连分数算法
部分结构	渐近分数	完全商
分类	有限连分数	循环连分数、无限不循环连分数
最佳有理逼近
用连分数逼近	渐近分数	半渐近分数
用中间分数逼近	Farey 数列	Stern–Brocot 树