查看“︁迭代（映射）”︁的源代码

[[分类:映射]]
{{InfoBox
|name=迭代
|eng_name=iteration
}}
{{非标准称呼}}
映射的'''迭代'''('''iteration''' of map)是指同一个[[映射]]多次与自身进行[[复合（映射）|复合]]。

== 定义 ==

{{Operation
|name=迭代
|symbol=<math>\bullet^n</math>
|latex=^n
|operand=映射,自然数
|result=映射
|domain=<math>X ^ X \times \mathbb{N}</math>
|codomain=<math>X ^ X</math>
}}
对集合 <math>X</math> 上的函数 <math>f: X\to X</math> ，定义函数 <math>f^n</math> ，其中 <math>n</math> 为自然数：
* 当 <math>n=0</math> 时， <math>f^0 = \mathrm{id}_X</math> 。
* 当 <math>n>0</math> 时， <math>f^{n+1} = f \circ f^n</math> 。
称为映射 <math>f</math> 的'''第 <math>n</math> 次迭代'''('''the <math>n</math>-th iterate''' of <math>f</math>)。

<blockquote>
需要注意的时，函数右上角写指数，特别是在三角学领域，也指函数结果的幂。
</blockquote>

== 性质 ==

* 同一函数自身的迭代，关于映射的复合是交换幺半群，与迭代次数关于加法的交换幺半群同构。
** 交换 <math>f^m \circ f^n = f^n \circ f^m = f^{m+n}</math>
** <math>(f^m)^n = (f^n)^m = f^{mn}</math>


{{映射}}