迭代（映射）
| 迭代 | |
|---|---|
| 术语名称 | 迭代 |
| 英语名称 | iteration |
请注意，这个条目所介绍的术语没有标准称呼。仅仅是为了便于描述建立条目取了一个名字。
映射的迭代(iteration of map)是指同一个映射多次与自身进行复合。
定义
| 迭代 | |
|---|---|
| 运算名称 | 迭代 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math] |
| Latex | ^n
|
| 运算对象 | 映射, 自然数 |
| 运算元数 | 2 |
| 运算结果 | 映射 |
| 定义域 | [math]\displaystyle{ X ^ X \times \mathbb{N} }[/math] |
| 陪域 | [math]\displaystyle{ X ^ X }[/math] |
对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的函数 [math]\displaystyle{ f: X\to X }[/math] ，定义函数 [math]\displaystyle{ f^n }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ n }[/math] 为自然数：
- 当 [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] 时， [math]\displaystyle{ f^0 = \mathrm{id}_X }[/math] 。
- 当 [math]\displaystyle{ n\gt 0 }[/math] 时， [math]\displaystyle{ f^{n+1} = f \circ f^n }[/math] 。
称为映射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 的第 [math]\displaystyle{ n }[/math] 次迭代(the [math]\displaystyle{ n }[/math]-th iterate of [math]\displaystyle{ f }[/math])。
需要注意的时，函数右上角写指数，特别是在三角学领域，也指函数结果的幂。
性质
- 同一函数自身的迭代，关于映射的复合是交换幺半群，与迭代次数关于加法的交换幺半群同构。
- 交换 [math]\displaystyle{ f^m \circ f^n = f^n \circ f^m = f^{m+n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (f^m)^n = (f^n)^m = f^{mn} }[/math]
| 映射 | |
|---|---|
| 定义属性 | 定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math] 、陪域、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math] |
| 特殊映射 | 空映射、常值映射、恒等映射[math]\displaystyle{ \mathrm{id}_\bullet }[/math]、包含映射[math]\displaystyle{ \iota }[/math] |
| 类型 | 单射、满射、双射 |
| 运算 | 复合[math]\displaystyle{ \circ }[/math]、迭代[math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、逆映射（反函数）[math]\displaystyle{ \bullet^{-1} }[/math]、限制、延拓 |