查看“︁逆元”︁的源代码

[[分类:二元运算]]
{{InfoBox
|name=逆元
|eng_name=inverse element
|aliases=逆,inverse
}}
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|name=左逆元
|eng_name=left inverse element
|aliases=左逆,left inverse
}}
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|name=右逆元
|eng_name=right inverse element
|aliases=右逆,right inverse
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{{InfoBox
|name=可逆
|eng_name=invertible
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'''逆元'''('''zero element''')指某[[集合]]中，对一个元素，在集合上的一个有[[幺元]]的二元[[运算]]中，与其运算结果是幺元的元素。
元素存在逆元称为这个元素'''可逆'''('''invertible''')。

== 定义 ==

对集合 <math>X</math> 上的二元运算 <math>\bullet</math> ，若运算有幺元 <math>e</math> ，则对元素 <math>a</math> ：
* 若 <math>(\exists b \in X) (b \bullet a = e)</math>，则称元素 <math>b</math> 为元素 <math>a</math> 在运算 <math>\bullet</math> 下的'''左逆元'''('''left inverse element''')；
* 若 <math>(\exists b \in X) (a \bullet b = e)</math>，则称元素 <math>b</math> 为元素 <math>a</math> 在运算 <math>\bullet</math> 下的'''右逆元'''('''right inverse element''')；
* 若存在 <math>b</math> ，对元素 <math>a</math> ，运算 <math>\bullet</math> 下既是左逆元又是右逆元，则称元素 <math>a</math> 在 <math>\bullet</math> 下'''可逆'''(is '''invertible''')，并称元素 <math>b</math> 为元素 <math>a</math> 在运算 <math>\bullet</math> 下的'''逆元'''('''inverse element''')，记作 <math>a^{-1}_X</math> 。

注：不用指出集合时，省略下标用 <math>a^{-1}</math> 表示。

注：如果可交换，则不区分左右。

== 性质 ==

* 逆元是相对某个元素和某个运算而言的，不能完全脱离其中之一谈论逆元。
* 对同一元素，左逆元既可以不存在，也可以存在多个；右逆元也既可以不存在，也可以存在多个。
* 如果一个元素在一个运算下同时存在左右逆元，那么左右逆元必然相等且唯一。也就是说，只要同时有左右逆元，就一定只有一个左逆元，一个右逆元，而且是同一个元素。


{{二元运算}}