逆元
| 逆元 | |
|---|---|
| 术语名称 | 逆元 |
| 英语名称 | inverse element |
| 别名 | 逆, inverse |
| 左逆元 | |
|---|---|
| 术语名称 | 左逆元 |
| 英语名称 | left inverse element |
| 别名 | 左逆, left inverse |
| 右逆元 | |
|---|---|
| 术语名称 | 右逆元 |
| 英语名称 | right inverse element |
| 别名 | 右逆, right inverse |
| 可逆 | |
|---|---|
| 术语名称 | 可逆 |
| 英语名称 | invertible |
逆元(zero element)指某集合中，对一个元素，在集合上的一个有幺元的二元运算中，与其运算结果是幺元的元素。 元素存在逆元称为这个元素可逆(invertible)。
定义
对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] ，若运算有幺元 [math]\displaystyle{ e }[/math] ，则对元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] ：
- 若 [math]\displaystyle{ (\exists b \in X) (b \bullet a = e) }[/math]，则称元素 [math]\displaystyle{ b }[/math] 为元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 在运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 下的左逆元(left inverse element)；
- 若 [math]\displaystyle{ (\exists b \in X) (a \bullet b = e) }[/math]，则称元素 [math]\displaystyle{ b }[/math] 为元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 在运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 下的右逆元(right inverse element)；
- 若存在 [math]\displaystyle{ b }[/math] ，对元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] ，运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 下既是左逆元又是右逆元，则称元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 在 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 下可逆(is invertible)，并称元素 [math]\displaystyle{ b }[/math] 为元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 在运算 [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] 下的逆元(inverse element)，记作 [math]\displaystyle{ a^{-1}_X }[/math] 。
注：不用指出集合时，省略下标用 [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] 表示。
注：如果可交换，则不区分左右。
性质
- 逆元是相对某个元素和某个运算而言的，不能完全脱离其中之一谈论逆元。
- 对同一元素，左逆元既可以不存在，也可以存在多个；右逆元也既可以不存在，也可以存在多个。
- 如果一个元素在一个运算下同时存在左右逆元，那么左右逆元必然相等且唯一。也就是说，只要同时有左右逆元，就一定只有一个左逆元，一个右逆元，而且是同一个元素。
| 封闭二元运算 |
|---|
| 结合性、交换性（交换元）、分配性（左、右） |
| 零元（左、右）、幺元（左、右）、逆元（左、右） |
| 消去律（左、右）、吸收律、幂等律（幂等元） |
| 反交换性、反分配性 |