查看“︁逆映射”︁的源代码

[[分类:映射]]
{{InfoBox
|name=逆映射
|eng_name=inverse map
|aliases=反函数,inverse function,逆,inverse
}}
{{InfoBox
|name=可逆映射
|eng_name=invertible map
|aliases=可逆函数,invertible function,可逆,invertible
}}
映射的'''逆'''('''inverse''')是指一个[[映射]]的反向映射，即把原来映射的像映射回其原像。
存在逆映射被称为'''可逆'''('''invertible''')，当且仅当映射是个[[双射]]。

== 定义 ==

{{Operation
|name=逆映射/反函数
|symbol=<math>\bullet^{-1}</math>
|latex=^{-1}
|operand=映射
|operand_num=1
|result=映射
|domain=<math>\left\{f \in Y ^ X \mid f 是双射 \right\}</math>
|codomain=<math>\left\{f \in X ^ Y \mid f 是双射 \right\}</math>
}}
对映射 <math>f: X\to Y</math>，若存在映射 <math>g: Y\to X; f(x) \mapsto x</math> ，则称映射 <math>f</math> 是'''可逆的'''('''invertible''')，及映射 <math>f</math> 是'''可逆映射'''('''invertible map''')或'''可逆函数'''('''invertible function''')，同时称映射 <math>g</math> 是映射 <math>f</math> 的'''逆映射'''('''inverse map''')或'''反函数'''('''inverse function''')，简称'''逆'''('''inverse''')，记作 <math>f^{-1}</math> 。

<blockquote>
由于逆是复合运算的逆，和乘法逆元的逆有类似的标记，有可能造成混淆。通常常用函数的逆有其各自的惯用写法来区别，不容易产生歧义，但是单用这一记号确实是存在误解风险的。
</blockquote>

对于非双射的映射或函数，有时也会使用这一术语，但需要对映射进行以下修改：
* 对于非[[满射]]，默认缩小其陪域为值域，以保证在新陪域上是个满射，其逆函数也用这个新的陪域作为定义域。对于允许[[部分函数]]的情况，不需要特殊操作。
* 对于非[[单射]]，通常会选择一个[[限制、延拓（映射）|限制]]，以保证原映射在新定义域内是个单射。对于允许[[多值函数]]的情况，不需要特殊操作。

== 性质 ==

可逆
* 映射是可逆的，当且仅当映射是一个双射。

逆映射
* 是复合运算下的逆元： <math>f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X, f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y</math>
** 同时，会从迭代中抵消一次 <math>f^{-1} \circ f^n = f^n \circ f^{-1} = f^{n-1} (n>0)</math>


{{映射}}