逆映射
| 逆映射 | |
|---|---|
| 术语名称 | 逆映射 |
| 英语名称 | inverse map |
| 别名 | 反函数, inverse function, 逆, inverse |
| 可逆映射 | |
|---|---|
| 术语名称 | 可逆映射 |
| 英语名称 | invertible map |
| 别名 | 可逆函数, invertible function, 可逆, invertible |
映射的逆(inverse)是指一个映射的反向映射，即把原来映射的像映射回其原像。 存在逆映射被称为可逆(invertible)，当且仅当映射是个双射。
定义
| 逆映射/反函数 | |
|---|---|
| 运算名称 | 逆映射/反函数 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ \bullet^{-1} }[/math] |
| Latex | ^{-1}
|
| 运算对象 | 映射 |
| 运算元数 | 1 |
| 运算结果 | 映射 |
| 定义域 | [math]\displaystyle{ \left\{f \in Y ^ X \mid f 是双射 \right\} }[/math] |
| 陪域 | [math]\displaystyle{ \left\{f \in X ^ Y \mid f 是双射 \right\} }[/math] |
对映射 [math]\displaystyle{ f: X\to Y }[/math]，若存在映射 [math]\displaystyle{ g: Y\to X; f(x) \mapsto x }[/math] ，则称映射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是可逆的(invertible)，及映射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 是可逆映射(invertible map)或可逆函数(invertible function)，同时称映射 [math]\displaystyle{ g }[/math] 是映射 [math]\displaystyle{ f }[/math] 的逆映射(inverse map)或反函数(inverse function)，简称逆(inverse)，记作 [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] 。
由于逆是复合运算的逆，和乘法逆元的逆有类似的标记，有可能造成混淆。通常常用函数的逆有其各自的惯用写法来区别，不容易产生歧义，但是单用这一记号确实是存在误解风险的。
对于非双射的映射或函数，有时也会使用这一术语，但需要对映射进行以下修改：
- 对于非满射，默认缩小其陪域为值域，以保证在新陪域上是个满射，其逆函数也用这个新的陪域作为定义域。对于允许部分函数的情况，不需要特殊操作。
- 对于非单射，通常会选择一个限制，以保证原映射在新定义域内是个单射。对于允许多值函数的情况，不需要特殊操作。
性质
可逆
- 映射是可逆的，当且仅当映射是一个双射。
逆映射
- 是复合运算下的逆元： [math]\displaystyle{ f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X, f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y }[/math]
- 同时，会从迭代中抵消一次 [math]\displaystyle{ f^{-1} \circ f^n = f^n \circ f^{-1} = f^{n-1} (n\gt 0) }[/math]