查看“︁阶乘”︁的源代码

[[分类:组合数学]]
{{InfoBox
|name=阶乘
|eng_name=factorial
}}
'''阶乘'''('''factorial''')指对一个[[自然数]]，所有不小于其的正整数的累积。也是其[[全排列]]的数目。

== 定义 ==

对自然数 <math>n</math> ，称 <math>n! = \prod_{i=1}^n i = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times (n-1) \times n</math> 为自然数 <math>n</math> 的'''阶乘'''('''factorial''')。

特别地，自然数 0 的阶乘定义为空积 1 。

=== 全排列定义 ===

对自然数 <math>n</math> ，称 <math>n</math> 个元素的全排列数目为自然数 <math>n</math> 的'''阶乘'''('''factorial''')。

特别地，自然数 0 的阶乘定义为 0 个元素的全排列数 1。

=== 递推定义 ===

对自然数 <math>n</math> ，定义自然数 <math>n</math> 的'''阶乘'''('''factorial''') <math>n!</math> 为符合以下递推公式的运算：

<math>
n! =\begin{cases}
(n-1)! \times n &, n > 0 \\
1 &, n = 0
\end{cases}
</math>

== 性质 ==

阶乘复杂度的增长与自乘方同阶，参见 [[Stirling 公式]]。

阶乘的因数情况见 [[Legendre 定理]]。

阶乘可以[[延拓]]到实数上，一个常见且广泛使用的延拓是[[Γ 函数|伽马函数]]。

== 数列 ==

{{OEIS|A000142}}


{{组合数学}}