阶乘
| 阶乘 | |
|---|---|
| 术语名称 | 阶乘 |
| 英语名称 | factorial |
阶乘(factorial)指对一个自然数，所有不小于其的正整数的累积。也是其全排列的数目。
定义
对自然数 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ n! = \prod_{i=1}^n i = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times (n-1) \times n }[/math] 为自然数 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的阶乘(factorial)。
特别地，自然数 0 的阶乘定义为空积 1 。
全排列定义
对自然数 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素的全排列数目为自然数 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的阶乘(factorial)。
特别地，自然数 0 的阶乘定义为 0 个元素的全排列数 1。
递推定义
对自然数 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，定义自然数 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的阶乘(factorial) [math]\displaystyle{ n! }[/math] 为符合以下递推公式的运算：
[math]\displaystyle{ n! =\begin{cases} (n-1)! \times n &, n \gt 0 \\ 1 &, n = 0 \end{cases} }[/math]
性质
阶乘复杂度的增长与自乘方同阶，参见 Stirling 公式。
阶乘的因数情况见 Legendre 定理。