查看“︁阶乘进制”︁的源代码

[[分类:记数系统]]
{{InfoBox
|name=阶乘进制
|eng_name=factorial numeral system
|aliases=factoradic
}}
'''阶乘进制'''('''factorial numeral system''', '''factoradic''')指位权为[[阶乘]]的[[混合基数记数法]]。其基数依次为[[正整数]]，位权由低到高为 <math>0!,1!,2!,3!,\cdots</math> 。

由于最后一位的基数是 1 （<math>=\tfrac{1!}{0!}</math>），这一数位上的符号一定是 0 ，一些定义中会省略掉位权为 <math>0!</math> 的位。

使用阶乘进制一般是为了保证基数是正整数，如果出现小数部分，一般不会选择自然地选择非正整数作为小数部分的基数，而是选择对称使用正整数，也就是用阶乘的倒数作为位权。

== 定义 ==

对混合基数记数法，若每一位的基数为正整数 <math>1,2,3,\cdots</math> ，位权为 <math>r</math> 的数位上符号为 <math>0,1,\cdots,r-1</math> ，位权为 <math>0!,1!,2!,3!,\cdots</math> ，则称其为'''阶乘进制'''('''factorial number system''', '''factoradic''')。

== 表示 ==

阶乘进制通常使用加进制下标的形式，如 <math>21200_{!}</math> 或 <math>(21200)_{!}</math> 。由于阶乘进制下，足够高位的数字可能超过 9 ，也使用冒号分隔每一位数，以保证足够大的数可以写成十进制并避免混淆，如 <math>2:1:2:0:0_{!}</math> 。

== 数值及表示 ==

=== 位权 ===

阶乘进制的位权为阶乘，由地位向高位依次为 <math>0!,1!,2!,3!,\cdots</math> 。

如果存在小数部分，则向低位基数也使用正整数，即位权也依次为 <math>\tfrac{1}{1!},\tfrac{1}{2!},\tfrac{1}{3!},\cdots</math> 。

需要注意的是，小数点前和小数点后第一位的基数是 <math>1=\frac{1!}{0!}=1!</math> ，所以这两位上的数总是 0 ，在一些定义中会被省略。

=== 一些常见数值表示 ===

对有限小数，不列出其对应的无限循环小数形式。

{| class='wikitable' style='width: 100%'
|-
! 整数（十进制） !! 整数（阶乘进制） !! 分数（十进制） !! 小数（阶乘进制）
|-
| 1 || <math>1:0_!</math> || 1/1 || <math>1:0_!</math>
|-
| 2 || <math>1:0:0_!</math> || 1/2 || <math>0.0:1_!</math>
|-
| 3 || <math>1:1:0_!</math> || 1/3 || <math>0.0:0:2_!</math>
|-
| 4 || <math>2:0:0_!</math> || 1/4 || <math>0.0:0:1:2_!</math>
|-
| 5 || <math>2:1:0_!</math> || 1/5 || <math>0.0:0:1:0:4_!</math>
|-
| 6 || <math>1:0:0:0_!</math> || 1/6 || <math>0.0:0:1_!</math>
|-
| 7 || <math>1:0:1:0_!</math> || 1/7 || <math>0.0:0:0:3:2:0:6_!</math>
|-
| 8 || <math>1:1:0:0_!</math> || 1/8 || <math>0.0:0:0:3_!</math>
|-
| 9 || <math>1:1:1:0_!</math> || 1/9 || <math>0.0:0:0:2:3:2_!</math>
|-
| 10 || <math>1:2:0:0_!</math> || 1/10 || <math>0.0:0:0:2:2_!</math>
|-
| 11 || <math>1:2:1:0_!</math> || 1/11 || <math>0.0:0:0:2:0:5:4:1:4:0:\mathrm{A}_!</math>
|-
| 12 || <math>2:0:0:0_!</math> || 1/12 || <math>0.0:0:0:2_!</math>
|}

自然数的阶乘进制表示见 {{OEIS|A124252}} 。不含最后一位 0 的阶乘进制表示见 {{OEIS|A007623}} 。

== 应用 ==

排列的字典序即 [[Lehmer 编码]]，与自然数在阶乘进制下的表示一一对应。其对应规则为每一位都是在剩余元素中取指定顺序的元素。


{{记数法}}